В прямоугольном треугольнике с катетами 36 и 48 на гипотенузе взята точка. Из нее проведены прямые, параллельные катетам. Получится прямоугольник, вписанный в данный треугольник. Где на гипотенузе надо взять точку, чтобы площадь такого прямоугольника была наибольшей?

х см и y см - стороны прямоугольника (x<36, y<48),

(36-x)/y = 36/48,

3y=4(36-x)

y=48-4/3 x,

S см^2 - площадь прямоугольника,

S=xy,

S(x)=x(48-4/3 x)=48x-4/3 x^2,

S'(x)=48-8/3 x

S'(x)=0, 48-8/3 x=0, -8/3 x=-48, x=18, - критическая точка

x<18, S'(x)>0, S(x) - возрастает,

x<18, S'(x)<0, S(x) - убывает,

при х=18 S(x)-max

y=48-4/3 *18=24,

c см - растояние от точки, взятой на гипотенузе, до вершины угла между гипотенузой и меньшим катетом,

с=sqrt(y^2+(36-x)^2)=sqrt(24^2+18^2)=sqrt(900)=30

sqrt(36^2+48^2)=sqrt(3600)=60 см - длина гипотенузы,

искомая точка - середина гипотенузы