как пишется непрошеННый гость и почему?

НЕПРОШЕНЫЙ пишется с одной Н! Потому что этот глагол образован от глагола несовершенного вида, приставки (кроме -не-)

непрошеНый образовано от н.ф не просить , глагол Несовершенного вида, поэтому пишем одну Н