№1 В треугольнике ABC со сторонами AB=2 см, BC=3 см и AC=3 см проведена биссектриса BM. Найдите длины отрезков AM и MC.

№2 В треугольнике MNKизвестны длины сторон MN=4 см,NK=5 см, NP — биссектриса, а разность длин отрезковMP и PKравна 0,5 см. Найдите MP и PK.

№3 В треугольнике DEP проведена биссектрисаEK. Найдите стороныDE и EP,если DK=3 см, KP=4 см, а периметр треугольника DEP равен 21 см.

№4 В треугольнике ABC: BC-AB=3 см, биссектриса BD делит сторону AC на отрезки AD=2 см и DC=3 см. Найдите длины сторон AB и BC

№6 Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершиныM,F и N лежат соответственно на сторонах CD,CE и DE. Найдите стороны CB и DE, если CF=8 см;EF=12 см.

№7 В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Известно что эта биссектриса делит противолежащий катет на отрезки 4 см и 5 см. Найдите площадь прямоугольного треугольника.

№8 Точка O на гипотенузе равноудалена от двух катетов прямоугольного треугольника и делит гипотенузу на части длиной 30 см и 40 см. Найдите катеты треугольника и его площадь.

№9 Найдите угол между биссектрисами двух углов треугольника, если градусная мера одного из этих углов равна 40 градусов, а градусная мера третьего угла 60градусов

№10 В прямоугольном треугольнике с углом 30градусов и гипотернузой, равной 4см проведена биссектриса к гипотенузе. Найдите отрезки, на которые она разбивает эту гипотенузу.

№11 В прямоугольном треугольнике с углом 60 градусов и меньшим катетов, равным коренем из 3 проведена биссектриса к гипотенузе. Найдите отрезки на гипоненузе, образованные от проведения этой биссектрисы.

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.1. Пусть АМ = х, тогда СМ = 3 - х.(3 - x) : x = 3 : 26 - 2x = 3x5x = 6x = 1,2AM = 1,2 см, СМ = 1,8 см2. Так как MN < NK, то MP < PK.Пусть МР = х, тогда РК = х + 0,54 : x = 5 : (x + 0,5)5x = 4x + 2x = 2МР =2 см, РК = 2,5 см3. DE + EP = Pdep - DP = 21 - 7 = 14 смПусть DE = x, тогда ЕР = 14 - хx : 3 = (14 - x) : 44x = 42 - 3x7x = 42x = 6DE = 6 см, ЕР = 8 см4. Пусть АВ = х, тогда ВС = х + 3.x : 2 = (x + 3) : 33x = 2x + 6x = 6АВ = 6 см, ВС = 9 см6. В условии опечатка: надо найти длины сторон CD и DE.DF - диагональ ромба, а диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов, значит DF - биссектриса треугольника.CD + DE = Pcde - CE = 55 - 20 = 35 смПусть CD = х, тогда DE = 35 - хx : 8 = (35 - x) : 1212x = 280 - 8x20x = 280x = 14CD = 14 см, DE = 21 см7. ΔАВС, ∠С = 90°, АМ - биссектриса.Пусть АС = х, тогда по теореме Пифагора АВ = √(х² + 81).x : 4 = √(х² + 81) : 55x = 4√(х² + 81)25x² = 16x² + 81 · 169x² = 81 · 16x² = 9 · 16x = 3 · 4 = 12АС = 12 смSabc = AC · CB / 2 = 12 · 9 = 54 см²8. Так как точка О равноудалена от катетов, СО - диагональ квадрата, а диагонали квадрата лежат на биссектрисах его углов. Значит СО - биссектриса треугольника.а : 40 = b : 30b = 30a / 40 = 3a/4По теореме Пифагора:70² = a² + 9a²/1625a²/16 = 4900a² = 4900 · 16 / 25 = 196 · 16a = 14 · 4 = 56CB = 56 смАС = 3 · 56 / 4 = 3 · 14 = 42 смSabc = CB · AC / 2 = 56 · 42 / 2 = 1176 см²9. ΔАВС: ∠В = 60°, ∠С = 40°, ⇒ ∠А = 80°.О - точка пересечения биссектрис.∠ОАС + ∠ОСА = (∠А + ∠С)/2 = (80° + 40°)/2 = 60°Из ΔОАС ∠АОС = 180° - (∠ОАС + ∠ОСА) = 180° - 60° = 120°10. ΔАВС с прямым углом С, СМ - биссектриса.АС = АВ/2 = 2 см как катет, лежащий напротив угла в 30°.По теореме ПифагораВС = √(АВ² - АС²) = √(16 - 4) = √12 = 2√3 смПусть АМ = х, тогда МВ = 4 - х.x : 2 = (4 - x) : (2√3)2√3x = 8 - 2x2x(√3 + 1) = 8x = 4 / (√3 + 1) = 4(√3 - 1) / (3 - 1) = 2(√3 - 1)AM = 2(√3 - 1) смМВ = 4 - (2√3 - 2) = 6 - 2√3 = 2√3(√3 - 1) см11. ΔАВС: ∠С = 90°, ∠А = 60°, ⇒ ∠В = 30°, тогда АВ = 2АС = 2√3 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°.По теореме Пифагора:ВС = √(АВ² - АС²) = √(12 - 3) = √9 = 3 смСМ - биссектриса.Пусть АМ = х, МВ = 2√3 - х.x : √3 = (2√3 - x) : 33x = 6 - √3xx(3 + √3) = 6x = 6 / (3 + √3) = 6(3 - √3) /(9 - 3) = 3 - √3 = √3(√3 - 1)AM = √3(√3 - 1) смМВ = 2√3 - 3 + √3 = 3√3 - 3 = 3(√3 - 1) см