x dy = (√(x^2+y^2)+y) dx

[tex]{x} \, dy = {( \sqrt{x^2+y^2}+y) } \, dx[/tex]

Воспользуемся свойствами гиперболического синуса sh(v)=(eˣ-e⁻ˣ)/2  и гиперболического косинуса сh(v)=(eˣ+e⁻ˣ)/2. Сделаем замену y=x·sh(v). Тогда в силу того, что d(sh(v))=ch(v)dv. получим dy=sh(v)dx+x·ch(v)dv. Т.к. 1+sh²v=ch²v, то√(х²+y²)=√(х²+х²sh²(v)) =x√(1+sh²(v))=x·ch(v), т.е. x·sh(v)dx+x²·ch(v)dv=х·ch(v)dx+х·sh(v)dxxdv=dx∫dv=∫dx/xv=ln|x|+c. Итак, ответ у=х·sh(ln|x|+c).