записаны 4 числа 0 0 0 1 за один ход разрешается  прибавить 1 к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить четыре одинаковых числа?

нельзя, так как сумма цифр всегда будет нечётной

нельзя, так как все время одно из чисел будет либо меньше либо больше чем остальные числа.