1. Вычислить: а) log1/216; б) 51 +log53;
в) log3135 - log320 + 2log36.
2. Сравнить числа: log1/23/4 и log1/24/5.
3. Решить уравнение: log5(2x – 1) = 2.
4. Решить неравенство: log1/3(x – 5) > 1.
5. Решить уравнение: log8x + log√2x = 14.
6. Решить неравенство: log1/6(10 – x) + log1/6(x – 3) ≥ - 1.
7*.Решить неравенство: log32 x -2log3 x ≤ 3.

1) а) По свойству \log_\big{a^k}b=\dfrac{1}{k}\log_ab имеем , что \log_\big{ \frac{1}{2} }16=\log_\big{2^{-1}}16=-\log_\big{2}16=-\log_\big{2}2^\big{4}=-4б) Используя свойство \log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c), получим что51+\log53=\log10^{51}+\log53=\log(53\cdot 10^{51})в) \log_335-\log_320+2\log_36=\log_3 \dfrac{35}{20} +\log_336=\log_3 \dfrac{35\cdot 36}{20} =\log_363Задание 2. Сравнить числа: \log_\big{ \frac{1}{2} } \dfrac{3}{4} и \log_\big{ \frac{1}{2} } \dfrac{4}{5} Поскольку  \dfrac{3}{4} \ \textless \ \dfrac{4}{5} , то в силу монотонности функции(0\ \textless \ \dfrac{1}{2} \ \textless \ 1 функция убывающая) имеем что \log_\big{ \frac{1}{2} } \dfrac{3}{4}\ \textgreater \ \log_\big{ \frac{1}{2} } \dfrac{4}{5}Задание 3. Решить уравнение \log_5(2x-1)=2ОДЗ уравнения: 2x-1\ \textgreater \ 0  откуда   x\ \textgreater \ 0.5\log_5(2x-1)=\log_55^2\\ 2x-1=25\\ 2x=26\\ x=13Задание 4. Решить неравенство \log_\big{ \frac{1}{3} }(x-5)\ \textgreater \ 1ОДЗ: x-5\ \textgreater \ 0 откуда x\ \textgreater \ 5\log_\big{ \frac{1}{3} }(x-5)\ \textgreater \ \log_\big{ \frac{1}{3} } \dfrac{1}{3} Поскольку основание 0\ \textless \ \dfrac{1}{3} \ \textless \ 1, функция убывающая, то знак неравенства меняется на противоположныйx-5\ \textless \ \dfrac{1}{3} \\ \\ x\ \textless \ \dfrac{16}{3} С учетом ОДЗ получим окончательный ответ x \in \bigg(5; \dfrac{16}{3}\bigg) Задание 5. Решить уравнение \log_8x+\log_{ \sqrt{2} }x=14ОДЗ уравнения x\ \textgreater \ 0Используя свойство \log_\big{a^k}b=\dfrac{1}{k}\log_ab, получим что\log_\big{2^3}x+\log_\big{2^{1/2}}x=14\\ \\ \dfrac{1}{3} \log_2x+2\log_2x=14~~|\cdot 3\\ \\ \log_2x+6\log_2x=14\cdot 3\\ \\ 7\log_2x=14\cdot 3~~|:7\\ \\ \log_2x=6\\ \\ x=2^6Задание 6. Решить неравенство \log_\big{ \frac{1}{6} }(10-x)+\log_\big{ \frac{1}{6} }(x-3)\geq -1ОДЗ \displaystyle \left \{ {{10-x\ \textgreater \ 0} \atop {x-3\ \textgreater \ 0}} \right. ~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{x\ \textless \ 10} \atop {x\ \textgreater \ 3}} \right. ~~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x\in (3;10)}\log_\big{ \frac{1}{6} }((10-x)(x-3))\geq -1\\ \\ \log_\big{ \frac{1}{6} }(-x^2+13x-30)\geq \log_\big{ \frac{1}{6} }6В силу монотонности функции логарифма имеем что  -x^2+13x-30\leq 6\\ -x^2+13x-36\leq 0~~|\cdot(-1)\\ x^2-13x+36\geq 0(x-4)(x-9)\geq 0      (*)  Решением последнего неравенства (*) есть x \in (-\infty;4]\cup[9;+\infty)С учетом ОДЗ x \in [9;10) - ОТВЕТ.Задание 7. Решить неравенство \log_3^2x-2\log_3x \leq 3ОДЗ неравенства x\ \textgreater \ 0Представим левую часть неравенства в следующем виде:  \log_3^2x-2\log_3x+1\leq 4\\ \\ (\log_3x-1)^2\leq 4\\ \\ |\log_3x-1|\leq 2\\ \\ -2\leq \log_3-1\leq 2~~|+1\\ \\ -1\leq \log_3x\leq 3Имеем совокупность неравенств  \left[\begin{array}{ccc}\log_3x\geq -1\\ \log_3x\leq 3\end{array}\right~~~\Rightarrow~~~~~ \left[\begin{array}{ccc}x \geq \dfrac{1}{3}\\ x\leq 27 \end{array}\rightИ с учетом ОДЗ мы получим ответ x \in \bigg[\dfrac{1}{3} ;27\bigg].