докажите что углы a и b положительные и a + b < 90° то sin (a+b)

О РЕШЕНИИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.X. Косоугольные треугольники.§ 97. Соотношения между элементами косоугольного треугольника.Начнем с геометрического соотношения между углами треугольника:А + В + С = 180°.Заметим некоторые следствия из него.а) Так как сумма значений А и В + С равна 180°, то синусы их равны, а косинусы различаются знаками; поэтомуsin (B + C) = sin A; cos (B+C)= — cos A; cos A = — cos {В + С).Точно так же:tg ( B+ C ) = — tg A.б) Так как сумма значений и равна 90°, то сходные функции их соответственно равны (§ 17); например:sin = cos ; sin = cos и т. д.в) Полезно запомнить еще следующие соотношения между угламя треугольника:l) sin A + sin B + sin С = 4 cos • cos • cos 2) tg A + tg B+ tg C = tg A • tg B • tg C;3) ctg + ctg + ctg = ctg • ctg • ctg .Вывод этих формул предоставляется учащемуся.§ 98. Лемма. Во всяким треугольнике сторона равна диаметру описанного круга, умноженному на синус противолежащего угла.Обозначая радиус описанного круга через R, докажем, например, что а = 2R • sin A, где угол А есть острый или тупой.Доказательство. 1) Угол А острый (черт. 41). В oписанном круге из конца данной стороны проведем диаметр и соединим другие концы этой стороны и диаметра; получим прямоугольный треугольник. На чертеже 41 таким треугольником будет BDC; из него, на основании § 21, находим: BC = BD • sin D, или a = 2R• sin D; нo / D = / А1); следовательно, a = 2R• sin A.1) Тот и другой измеряются половиной дуги ВС.2) Угол А тупой. Сделаем такое же вспомогательное построение, как раньше. Из прямоугольного треугольника ВСЕ (черт. 42) найдем: a = 2R• sin E; но Е + А = 180°, следовательно sin E = sin A, поэтому a = 2R• sin A. Итак, вообще:a = 2R• sin A; b = 2R• sin B; c = 2R• sin C.§ 99. Теорема. Во всяком треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.Требуется доказать, что:a/sin A = b/sin B = c/sin CДоказательство. По § 98 для всякого треугольника как остроугольного, так и тупоугольного имеем:a = 2R• sin A; b = 2R• sin B; c = 2R• sin C.Отсюда находим:2R = a/sin A ; 2R = b/sin B ; 2R = c/sin C ,следовательно:a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.Таким образом, для одного и того же треугольника частное от деления стороны на синус противолежащего угла есть величина постоянная, равная диаметру описанного круга.Из соотношения a/sin A = b/sin B = c/sin C , переставляя члены пропорции, получим:a : b : c = sin A : sin B : sin С,т. е. во всяком треугольнике стороны, относятся между собой, как синусы противолежащих углов.Пример. Определить a : b : c, если А : В : С= 3 : 4 : 5.Так как А + В + С =180°, то сначала разделим 180° в отношении 3 : 4 : 5; получим А = 45°, B = 60° и С = 75°. Теперь по доказанному будем иметь:a : b : c = sin 45° : sin 60° : sin 75°.Подставляя сюда _ _sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2 и sin 75° = cos 30°/2= 1/2 получим, освободясь от знаменателей:a : b : c = √2 : √3 : .§ 100. Теорема. Сумма двух сторон треугольника так относится к их разности, как тангенс полусуммы противолежащих углов относится к тангенсу полуразности тех же углов.Доказательство. По §98 находим:a + b = 2R {sin A + sin В) и а — b = 2R (sin A — sin В);отсюда:Применяя здесь ко второй части формулу (XVII) (§ 65), получим:( a + b ) : (а — b ) = tg : tg ,чем и выражается теорема.§ 101. Формулы Мольвейде. Так называются следующие две пропорции, которые содержат отношения суммы и разности двух сторон треугольника к третьей стороне:Доказательство. 1) По §98:a + b = 2R (sin A + sin B) и c = 2R • sin C;отсюдаПреобразуем вторую часть:но sin = cos , так как + == 90°. По сокращении же дроби (b) будет окончательно:2) Таким же образом получим:§ 102. Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения их на косинус угла между ними.Требуется доказать, что а2 = b2 + с2 — 2bс • соs A (одинаково и в случае острого и в случае тупого;Доказательство. 1) Если угол А острый, то на основании теоремы геометрии о квадрате стороны, лежащей против острого угла, имеем (черт. 43):а2 = b2 + с2 — 2b • AD,но из прямоугольного треугольника ABD можно заменить AD через с • cos A; тогда получим:а2 = b2 + с2 — 2bс • соs A.2) Если угол A тупой, то применяем теорему о квадрате стороны против тупого угла треугольника (черт. 44). Получаема2 = b2 + с2 + 2b • AE.Из треугольника ABC находим:AE = с • соs α,но так какα = / BAE = 180° — А,тоcos α = cos (180° — А) = — cos A,поэтомуАЕ = — с • cos A.Подставляя это выражение в геометрическую формулу, получим:а2 = b2 + с2 — 2bс • соs A,т, е. то же самое, что и в первом случае.