найдите наименьшее значение выражения (5x + 4y + 6)^2 + (3x + 4y + 2)^2 и значения x и y, при которых оно достигается.

 

найдём точку пересечения прямых4y=3x ⇒ 12y=9x ⇒ 5x+12y=5x+9x=14x ⇒ 14x=10 ⇒ x = 5/7 ⇒ 4y=3·5/7=15/7 ⇒ y=15/28найдём векторы нормали-3x+4y=0 ⇒ n₁(-3;4)5x+12y-10=0 ⇒ n₂(5;12)Проверим, острый ли угол между n₁ и n₂ (равносильно n₁·n₂ > 0)n₁·n₂=-3·5+4·12=-15+48 > 0Находим единичные вектора нормалиn₁'=n₁/|n₁|=(-3;4)/√(3²+4²)=(-3/5;4/5)n₂'=n₂/|n₂|=(5;12)/√(5²+12²)=(5/13;12/13)Находим вектор нормали к биссектрисе острого угла между прямымиn₃=n₁'+n₂'=(-14/65;112/65)Другим вектором нормали будет n₃'=65/14 n₃=(-1;8)Составляем уравнение биссектрисы по точке (5/7;15/28) и вектору нормали n₃n₃'·(x,y)=n₃'·(5/7;15/28) ⇒ -x + 8y = -5/7 + 8 ·15/28 = 25 / 7, или-7x + 56y = 25другой возможный вариант решения, использовать тот факт, что любая точка биссектрисы равноудалена от двух данных прямых, и формулу расстояния от точки до прямой|4y-3x|/√(4²+3²) = |5x+12y-10|/√(5²+12²)13|4y-3x| = 5|5x+12y-10|13(4y-3x) = ±5(5x+12y-10)Один вариант знака даёт биссектрису острого угла, второй — биссектрису тупого угла, потом останется только разобраться, какой вариант к какой биссектрисе относится.

Т.к. Оба слагаемых квадраты ,то наименьшее значение=0 и оно достигается если 5х+4у+6=0 и 3х+4у+2=0

Решая сисетму получим х=-2;у=1