Помогите решить (Log4((2^x)-1))/x-1<=1 - №11249407

Помогите решить
(Log4((2^x)-1))/x-1<=1
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  cindytsuc
- 6 лет назад

Ответы 1

$\dfrac{\log_4(2^x-1)}{x-1}\leq 1$
Область допустимых значений
$\displaystyle \left \{ {{2^x-1>0} \atop {x-1eq 0}} ight. ~~\Leftrightarrow~~ \left \{ {{2^x>2^0} \atop {xeq 1}} ight. ~~\Leftrightarrow~~ \left \{ {{x>0} \atop {xeq 1}} ight.$
ОДЗ : x ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞)
$1)~x\in (0;1); ~~(x-1)<0~~ \Rightarrow\\\\\dfrac{\log_4(2^x-1)}{x-1}\leq 1~~\Big|\cdot (x-1)<0\\\\\log_4(2^x-1)\geq x-1~~\Leftrightarrow~~\log_4(2^x-1)\geq \log_44^{x-1}\\\\2^x-1\geq 4^{x-1}~~|\cdot4~~~~\Leftrightarrow~~4\cdot 2^x-4\geq 4^x\\\\2^{2x}-4\cdot 2^x+4\leq 0\\\\(2^x-2)^2\leq 0;~~~2^x=2;~~~x=1;$
Не подходит по ОДЗ
$2)~x\in (1;+\infty ); ~~(x-1)>0~~ \Rightarrow\\\\\dfrac{\log_4(2^x-1)}{x-1}\leq 1~~\Big|\cdot (x-1)>0\\\\\log_4(2^x-1)\leq x-1~~\Leftrightarrow~~\log_4(2^x-1)\leq \log_44^{x-1}\\\\2^x-1\leq 4^{x-1}~~|\cdot4~~~~\Leftrightarrow~~4\cdot 2^x-4\leq 4^x\\\\2^{2x}-4\cdot 2^x+4\geq 0\\\\(2^x-2)^2\geq 0;$
Квадрат выражения всегда неотрицательный.
Ответ: х ∈ (1; +∞)
- Автор:
  elizad8fr
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years