1+2+2^2+2^3+...+2^77 делится ли это число на 7 без остатка?

разбиваем слагаемые на группы

1+2+2^2 =1+2+4=7                                 n=0

2^3+2^4+2^5=2^3(1+2+2^2)=2^3*7       n=1

2^6+2^7+2^8=2^6(1+2+2^2)=2^6*7       n=2

2^9+2^10+2^11=2^9(1+2+2^2)=2^9*7       n=3

группа  из  3-х последовательных членов

каждая группа может быть представлена в виде произведения 2-х множителей ,один из которых 7

закономерность  2^(3n)*7

3n <77

n=77/3 =25+2/3

последняя группа

2^75+2^76+2^77=2^75 (1+2+2^2)

все группы полные и делятся на 7

заданное число делится на 7 без остатка