f(x) четная функция
g(x) нечетная функция
F(x)=f(x)/g(x)
F(x)- четная или не четная?

А область определения симметричная? если да то как доказать?

У нечетных функций график симметричен относительно начала координат. Это уже идет как свойство, так что доказывать не надо.

Нечетная.Если мы вместо x поставим -x, то получим:То есть функция F(x) меняет свой знак: F(-x) = - F(x).