Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Помогите решить пример,с подробным описанием хода решения,пожалуйста.
    Буду очень признателен и отблагодарю.
    Найти частные производные второго порядка функции многих переменных:
    [tex]u=xz*tg \sqrt{y} [/tex]

Ответы 3

  • Спасибо Вам,решили 2 примера:)
  • А главное все понятно

    • Автор:

      sabine
    • 5 лет назад
    • 0
  • Для начала найдём частные производные 1-ого порядка. Всего их 3(т.к. 3 переменные).u'_x=(xz*tg\sqrt{y})'_x=z*tg\sqrt{y}u'_y=(xz*tg\sqrt{y})'_y=xz*\frac{1}{cos^2\sqrt{y}}*(\sqrt{y})'=\frac{xz}{2\sqrt{y}*cos^2(\sqrt{y})}\\u'_z=(xz*tg\sqrt{y})'_z=xtg\sqrt{y}Когда мы считаем производную по какой-то переменной, то мы считаем что все остальные переменные независимые. К примеру:w=2xightarrow w'_x=2\\w=yxightarrow w'_x=y\ \ \ (w'_y=x)\\w=y+xightarrow w'_x=1\ \ \ (w'_y=1)Грубо говоря когда мы ищем производную по x, мы считаем что у это какое-то число. Надеюсь это понятно.Теперь частные производные второго порядка.Рассмотрим производную по х. Во второй раз мы может взять её опять же  по 3 переменным.u''_{x^2}=(z*tg\sqrt{y})'_x=0\\u''_{xy}=(z*tg\sqrt{y})'_y=\frac{z}{2\sqrt{y}*cos^2\sqrt{y}}\\u''_{xz}=(z*tg\sqrt{y})'_z=tg\sqrt{y}Теперь рассматриваем производную по у. Её  2-уй производную берём снова по 3-ём переменным.u''_{yx}=(\frac{xz}{2\sqrt{y}*cos^2(\sqrt{y})})'_x=\frac{z}{2\sqrt{y}*cos^2(\sqrt{y})}u''_{y^2}=(\frac{xz}{2\sqrt{y}*cos^2(\sqrt{y})})'_y=\frac{(xz)'_y*2\sqrt{y}*cos^2(\sqrt{y})-xz*(2\sqrt{y}*cos^2(\sqrt{y}))'_y}{(2\sqrt{y}*cos^2(\sqrt{y}))^2}=\\=\frac{-2xz*(\frac{1}{2\sqrt{y}}*cos^2(\sqrt{y})+\sqrt{y}*2cos(\sqrt{y})*(-sin\sqrt{y})*\frac{1}{2\sqrt{y}})}{4ycos^4(\sqrt{y})}=\\=\frac{-2xz*\frac{cos\sqrt{y}}{2\sqrt{y}}(cos(\sqrt{y})-2\sqrt{y}sin(\sqrt{y}))}{4ycos^4(\sqrt{y})}=\frac{-xz(cos(\sqrt{y})-2\sqrt{y}sin(\sqrt{y}))}{4\sqrt{y^3}cos^3(\sqrt{y})}\\u''_{yz}=(\frac{xz}{2\sqrt{y}*cos^2(\sqrt{y})})'_z=\frac{x}{2\sqrt{y}*cos^2(\sqrt{y})}Заметим что:u''_{xy}=u''_{yx}Такие равенства выполняются и для других смешанных производный, то есть:u''_{xz}=u''_{zx}И наконец рассмотрим производную по z. Опять же 3 варианта. Но теперь мы воспользуемся равенством рассмотренным выше.u''_{zx}=u''_{xz}=tg\sqrt{y}\\u''_{zy}=u''_{yz}=\frac{x}{2\sqrt{y}*cos^2(\sqrt{y})}\\u''_{z^2}=(xtg(\sqrt{x}))'_z=0Ну вот и всё. Будут вопросы - спрашивайте.

    • Автор:

      dallas805
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years