Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • В окружность радиуса 4 см вписан квадрат, в который снова вписана окружность, и т.д. найдите сумму длин всех таких окружностей.

Ответы 1

  • Если вписать квадрат в окуржность, то его диагональ будет диаметром этой окружности (угол опирающийся на диаметр - прямой). Таким образом длина диагонали квадрата вписанного в окружность: d = a \cdot \sqrt{2}, где a - сторона квадрата. Так как диагональ есть диаметр то она равна двум радиусам: d = 2 \cdot R. Тогда выразим длину стороны квадрата: 2 \cdot R = a \cdot \sqrt{2} \\a = \frac{2 \cdot R}{\sqrt{2}}

     

    Если вписать окружность в квадрат, то ее радиус будет равен половине стороны квадрата: r = \frac{a}{2}. Подставив предыдущую формулу в данную, получим: r = \frac{R}{\sqrt{2}}.

     

    Таким образом мы получили бесконечно убывающую геометрическую прогрессию радиусов окружностей. Первый элемент r_1 = 4, знаменатель прогресии q = \frac{1}{\sqrt{2}}.

    Сумма всех радиусов равна S_r = \frac{r_1}{1 - q } = \frac{4}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}.

     

    Тогда сумма длин всех окружностей: C_s = 2 \cdot \pi \cdot S_r = \\= 2 \cdot \pi \cdot \frac{4}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \\ = \frac{8 \cdot \pi \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \\ = 8 \cdot \pi \cdot \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} + 1)

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years