В прямоугольный треугольник с катетом 12 см и противолежащим углом 30 вписан прямоугольник основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

ABC − прямоугольный треугольник (∠B = 90°) BC = 12; ∠A = 30°; AC = BC/sin(∠A) = 24; MNKT − вписанный прямоугольник MN = TK = b (M и T лежат на гипотенузе) TC = b·ctg(∠C) = b/√3 AM = b·ctg(∠A) = b·√3 MT = NK = a = AC − (AM + TC) = 24 − (4b√3)/3 S(MNKT) = a·b = b·(24 − (4b√3)/3) y(b) = b·(24 − (4b√3)/3) y'(b₁) = 0 b₁ = 3√3 a₁ = 12 его размеры должны быть 12см на 3√3 см.