Найти наименьшие значение функции с помощью производной y=(2x-23)^2*(4-x)+5 на промежутке [ 0; 14)

Найти наименьшие значение функции с помощью производной y=(2x-23)^2*(4-x)+5 на промежутке [ 0; 14)
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  turner38
- 6 лет назад

Ответы 1

Находим производную:

$y=(2x-23)^{2}(4-x)+5\\ y'= ((2x-23)^{2})'(4-x)+(2x-23)^{2}(4-x)'=\\=2 \cdot (2x-23)(2x-23)'(4-x) -(2x-23)^{2}= \\ =4(2x-23)(4-x)-(2x-23)^{2}$

Упростим.

$4(2x-23)(4-x)-(2x-23)^{2}= (2x-23)(4(4-x)-2x+23)=\\= (2x-23)(39-6x)$

Найдем периоды возрастания и убывания:

$(2x-23)(39-6x)>0\\ 1) \left \{ {{2x-23>0} \atop {39-6x>0}} ight.\\ \left \{ {{x>11,5} \atop {x<6,5}} ight.\\ 2) \left \{ {{2x-23<0} \atop {39-6x<0}} ight.\\ \left \{ {{x<11,5} \atop {x>6,5}} ight.\\ 6,5<x<11,5$

На промежутке от 6,5 до 11,5 функция возрастает, на остальном она убывает. Имеем две точки экстремума:

6,5 - точка минимума

11,5 - точка максимума.

У нас пулучается, что функция примет свое наименьшее значение в точке минимума, то есть в точке 6,5. Подставляем в функцию:

$y=(2x-23)^{2}(4-x)+5 = (2\cdot 6,5-23)^{2}(4-6,5)+5 = -245$

График для наглядности.

З.Ы. Здесь небольшой подвох есть. В точке х =14, у тоже будет равен -245. Поскольку, в рассматриваемом промежутке [0; 14), точка 14 не включена, то тогда мы не берем ее в расмотрение.
- Автор:
  ticklebutt
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

Найти наименьшие значение функции с помощью производной y=(2x-23)^2*(4-x)+5 на промежутке [ 0; 14)

Ответы 1

Топ пользователей