система: log2 (x^2+y^2)=5 2log4x+log2y=4 log(2)-2 это основание, log(4)-4 тоже основание

Ответы 1

ОДЗ: $\begin{cases} & \text{ } y\ \textgreater \ 0\\ & \text{ } x\ \textgreater \ 0 \end{cases}$ Преобразуем 1-е и 2-е уравнение.Воспользуемся формулами перехода к новому основанию $\begin{cases} & \text{ } \log_2(x^2+y^2)=\log_22^5 \\ & \text{ } 2\cdot \frac{\log_2x}{\log_24}+\log_2y=4 \end{cases}\to \begin{cases} & \text{ } x^2+y^2=5 \\ & \text{ } \log_2x+\log_2y=4 \end{cases}\to\begin{cases} & \text{ } x^2+y^2=5 \\ & \text{ } xy=16\end{cases}$ Из уравнения 2 выразим переменную х и подставим в первое уравнение $\begin{cases} & \text{ } (\frac{16}{y})^2+y^2=32 \\ & \text{ } x= \frac{16}{y} \end{cases}$ $\frac{256}{y^2}+y^2=32$ Сделаем замену.Пусть $\frac{256}{y^2}=t\,(t \geq 0)$ , то получаем $t+ \frac{256}{t}-32=0|\cdot t\\ t^2-32t+256=0 \\ (t-16)^2=0\\ t=16$ Возвращаемся к замене $\frac{256}{y^2}=16\\ y^2=16\\ y=\pm4$ у=-4 - не удовлетворяет ОДЗ $x= \frac{16}{4} =4$ Окончательный ответ: $(4;4).$
- Автор:
  adrianfdtl
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ