Найти объемы тел, образованных при вращении вокруг оси Ox и оси Oy плоской фигуры,

Найти объемы тел, образованных при вращении вокруг оси Ox и оси Oy плоской фигуры, ограниченной линиями y=3+2x-x^2, y=x+1
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  gisela
- 6 лет назад

Ответы 3

Далее "разжевать" не могу, Ну там нужно было выражать x через y и определять пределы интегрирования. Я в *, **, ***, ****, ***** подставил уже готовые уравнения. Пределы определил не везде.
- Автор:
  tannerholmes
- 6 лет назад
- 0
Они находятся из координат точек пересечения.
- Автор:
  augustokoto
- 6 лет назад
- 0
$y_{1}(x)=-x^2+2x+3$ (1) $y_{2}(x)=x+1$ (2)Прежде всего построим графики заданных функций. (См рис1.FIGURE.png) Далее. Найдем точки пересечения графиков. Из картинки видно, что точки пересечения (Обозначим их А0 и А2) имеют координаты А0(-1; 0) и А2(2; 3).Убедиться в этом можно, подставив уравнения (1) и (2) поочередно координаты точек и проверить, обращаются ли они в верные равенства.строго говоря, для нахождения координат точек пересечения в нашем случае решается система уравнений (1), (2): $y=-x^2+2x+3$ (1) $y=x+1$ (2)Два уравнения, два неизвестных.Приравнивая правые части (1), (2) получаем одно уравнение с одним неизвестным: $-x^2+2x+3=x+1$ Приводим подобные слагаемые. $-x^2+2x+3-x-1=0$ $-x^2+x+2=0$ (3)Решаем полученное уравнение (3) $D=1-4*(-1)*2=1+8=9$ $x_{1,2}= \frac{-1 \pm \sqrt{9} }{-2} = \frac{-1 \pm 3 }{-2}$ $x_{1}=-1$ $x_{2}=2$ Соответствующие им значения y1, y2 можно найти, подставив например значения x1, x2 в уравнение (2) $y_{1}=x_{1}+1=-1+1=0$ $y_{2}=x_{2}+1=2+1=3$ Вот мы и получили две точки А0(x1; y1), A2(x2, y2) $A_{0}(-1; 0)$ $A_{2}(2; 3)$ Они нам понадобятся при простановке пределов интегрирования.Так теперь Разберемся, что получится, если нашу фигуру вращать вокругоси OX. Смотрим риснуок 2 (FIGURE_OX.png), На котором изображено поперечное сечение, полученной фигуры вращения. Такая "чаша", со стенками переменной толщины. В сечении наша исходная фигура (параболический сегмент) зеркально отразилась относительно оси OX. Точки с координатами (x, y) отразилисьв точки (x, -y). Соответственно прямая y=x+1 отразилась в y=-x-1, а парабола $y=-x^2+2x+3$ в параболу $y=x^2-2x-3$ .Объем "чаши" $V_{cp}$ будет равен: $V_{cp}=V_{p}-V_{c}$ (4)где $V_{p}$ объем фигуры ограниченной, параболами и плоскостью перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через прямую $A_{1} A_{2}$ . $V_{c}$ ? , объем конуса ограниченного прямыми и той же плоскостью проходящей через $A_{1} A_{2}$ Если нашу "чашу" без выемки конуса "нашинковать" плоскостями перпендикулярными плоскости рисунка и при этом параллельными плоскости основания конуса, мы разбиваем ее на множество мелких("блинов") элементарных цилиндров толщиной dx. Объем каждого такого цилиндра будет равен: $dVp= \pi *(y(x))^2dx$ Суммарный объем будет равен сумме объемов элементарных цилиндров.Переходя к пределу при dx⇒0 получаем: $Vp= \int\limits^{x_{2}}_{x_0} { \pi (y(x))^2} \, dx$ (5) $Vp= \int\limits^{x_{2}}_{x_0} { \pi (y(x))^2} \, dx= \pi \int\limits^{2}_{-1} {(-x^2+2x+3)^2} \, dx=$ $=\pi \int\limits^{2}_{-1} {(x^4-2x^3-3x^2-2x^3+4x^2+6x-3x^2+6x+9)} \, dx$ $=\pi \int\limits^{2}_{-1} {(x^4-4x^3-2x^2+12x+9)} \, dx$ (6) $\pi \int{(x^4-4x^3-2x^2+12x+9)} \, dx=\pi ( \frac{x^5}{5}- \frac{4x^4}{4}- \frac{2x^3}{3} + \frac{12x^2}{2} +9x )=$ $=\pi ( \frac{x^5}{5}- x^4- \frac{2x^3}{3} + 6x^2 +9x )=\pi x( \frac{x^4}{5}- x^3- \frac{2x^2}{3} + 6x +9 )$ (7)С учетом (7) интеграл (6) равен: $(6)=\pi 2( \frac{2^4}{5}- 2^3- \frac{2*2^2}{3} + 6*2 +9 )-$ $-\pi *(-1)( \frac{(-1)^4}{5}- (-1)^3- \frac{2*(-1)^2}{3} + 6*(-1) +9 )=$ $\pi ( \frac{32+1}{5}-(16-1)- \frac{2}{3}(8+1)+ (24-6)+(18+9) )=$ $\pi ( \frac{33}{5}-15-6+18+27 )= \pi ( \frac{33}{5}+24 )=\pi ( \frac{33+120}{5} )= \pi \frac{153}{5}$ (8)Аналогично объем конуса равен $Vc= \pi \int\limits^2_{-1} {(x+1)} \, dx$ (9)Проделывая вычисления находим: $Vc= \pi \int\limits^2_{-1} {(x+1)} \, dx= \frac{9 \pi }{2}$ (10)Тогда с учетом (4), (8), (10) искомый объем равен: $V_{cp}= \pi ( \frac{153}{5}- \frac{9}{2} )= \pi ( \frac{306-45}{10} ) =\pi ( \frac{261}{10} ) \approx 82,00$ Вкратце по 2му пункту смотрите рисунок 3 (FIGURE_OY). Тут наша фигура получилась более "хитрая". Придется, дробить область на части Сам объем будем искать в виде такой суммы:Объем усеченного "криволинейного конуса" (сечение А9, А1, А2, А8) - Объем конуса (А9, А0, А1) + объем ус. конуса(А2, А3, А5, А7) + объем "криволинейного конуса"(А3, А4, А6, А7) - объем "криволинейного конуса" (А5, А4, А6). $V=V_{A9,A1,A2,A8}-V_{A9,A0,A1}+V_{A2,A3,A5,A7}+V_{A3,A4,A6,A7}-V_{A5,A4,A6}$ $V_{A9,A1,A2,A8}= -\pi \int\limits^{y_{8}}_0 {(x(y))^2} \, dy= -\pi \int\limits^{y_{8}}_0 {(1- \sqrt{4-y} )^2} \, dy=*$ $V_{A9,A0,A1}= -\pi \int\limits^{1}_0 {(x(y))^2} \, dy= -\pi \int\limits^{1}_0 {(1-y )^2} \, dy=**$ $V_{A2,A3,A7,A8}= -\pi \int\limits^{3}_{y_{8}} {(x(y))^2} \, dy= -\pi \int\limits^{3}_{y_{8}} {(y-1 )^2} \, dy=***$ $V_{A3,A4,A6,A7}= -\pi \int\limits^{4}_3 {(x(y))^2} \, dy= -\pi \int\limits^{4}_3 {(1+ \sqrt{4-y} )^2} \, dy=****$ $V_{A5,A4,A6}= -\pi \int\limits^{4}_3 {(x(y))^2} \, dy= -\pi \int\limits^{4}_3 {(1- \sqrt{4-y} )^2} \, dy=*****$ Черт возьми! >5000 символов не лезет. Но надеюсь, принцип ясен.
- Автор:
  claude
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ