Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f(x) = 2sinx + sin2x на промежутке

Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f(x) = 2sinx + sin2x
на промежутке [pi/2;pi]
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  studuufk
- 6 лет назад

Ответы 2

$f(x) = 2sinx + sin2x \\ f'(x) = 2cosx + 2cos2x=2(cosx+2cos^2x-1) \\ f'(x)=0\ \ \textless \ =\ \textgreater \ 2cos^2x+cosx-1=0$ $cosx=-1$ или $cosx= \frac{1}{2}$ $x= \frac{ \pi }{3} + \frac{2 \pi k}{3} ,k \in Z$ Отберем корни из [π/2; π]: x = π - стационарная точка функции f(x) в [π/2; π].f(π/2) = 2sin(π/2) + sin π = 2+0 =2 -наибольшееf(π) = 2sin π + 2sin 2π = 0+0 =0 - наименьшее
- Автор:
  lindseywong
- 6 лет назад
- 0
Для начала мы найдем производную этой функции: $y'=(2sinx + sin2x)'=2cosx+2cos2x$ Теперь приравниваем нашу производную нулю $y'=0$ $2cosx+2cos2x=0$ $cosx+cos2x=0$ Теперь по формуле двойного угла: $cos2x=2cos^2x-1$ $2cos^2x+cosx-1=0$ Делаем замену: cos x = t $2t^2+t-1=0$ Находим дискриминант: $D=1-4*2*(-1)=9=3^2$ $t_1= \frac{-1+3}{4}= \frac{1}{2}$ $t_2= \frac{-1-3}{4}=-1$ Подставим значения t1 и t2 в нашу замену $1) cosx= \frac{1}{2}; x= \frac{ \pi }{3} + 2 \pi n$ n ∈ZЭта точка не подходит нашему промежутку $[ \frac{ \pi }{2}; \pi ]$ $2) cosx=-1;x= \pi +2 \pi n$ n ∈ZЭта точка уже принадлежит нашему промежуткуПодставим значение x в начальное условие: $y( \pi )=2sin \pi + sin2 \pi =0$ Теперь найдем значения функции на концам нашего промежутка: $y( \frac{\pi}{2})=2sin\frac{\pi}{2} + sin2\frac{\pi}{2}=2*1+0=2$ В точке (pi/2) мы уже нашли значение функцииТеперь зная 2 точки мы можем определить соответственно максимальное и минимальное значение $y_{max}=2$ $y_{min}=0$ Ответ: наибольшее - 2; наименьшее - 0.
- Автор:
  natalie2goc
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ