Решите в натуральных числах уравнение x!+y!+z! = k!. Объясните, почему других решений нет. Восклицательный знак, как обычно, обозначает факториал.

Не теряя общности можно считать, что x≤y≤z. Тогда при z=1 решений нет, при z=2 решения только x=y=z=2. Т.к. левая часть уравнения не превосходит 3z!, то k!≤3z!, т.е k!/z!=(z+1)(z+2)·...·(k-1)k≤3, Но при z≥3, это невозможно. Значит единственное решение x=y=z=2.