Докажите методом математической индукции:
1*8/4*7+2*11/7*10+...+(n*(3n+5))/((3n+1)*(3n+4))=(n*(n+1))/(3n+4)

При n=1, это верно, т.к. 1*8/(4*7)=1*2/(3*1+4)Пусть это верно при n=k.Тогда нужно проверить, что сумма первых k+1 слагаемых будет равна (k+1)(k+2)/(3k+7). Действительно, эта сумма равна первым k слагаемым плюс (k+1)-ое, т.е. учитывая предположение индукции, она равна k(k+1)/(3k+4)+(k+1)(3k+8)/((3k+4)(3k+7))=((k+1)/(3k+4))*(k+(3k+8)/(3k+7))==((k+1)/(3k+4))*(3k^2+10k+8)/(3k+7).Решая квадратное уравнение, получаем 3k^2+10k+8=(3k+4)(k+2), откуда сумма первых k+1 слагаемых равна  ((k+1)/(3k+4))*((3k+4)(k+2)/(3k+7))=(k+1)(k+2)/(3k+7), что и требовалось.