Существуют ли попарно различные вещественные числа a,b,c, такие, что (a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5=0?

Нет, не существуют. Простым раскрытием скобок легко проверить, что для любых x,y,z верно равенство x^5+y^5-(x+y)^5=-5xy(x+y)(x^2+xy+y^2).Тогда, если обозначить x=a-b≠0, y=b-c≠0, z=c-a≠0, то имеем z=-(x+y) и(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5=x^5+y^5+z^5=x^5+y^5-(x+y)^5=-5xy(x+y)(x^2+xy+y^2)==5xyz(x^2+xy+y^2). Т.к. x^2+xy+y^2>0 для всех x и y, и x,y,z≠0, то все выражение никогда не равно 0.