Сколько действительных решений имеет уравнение (1+x)^2016(1+ x)^2014)=(2x)^2015

Заметим, что x неотрицателен, так как иначе левая часть неотрицательна, а правая — отрицательна. Применим неравенство Коши к левой части. Окажется, что неравенство превращается в равенство. Это может быть лишь когда x=1.

То, что x не может быть отрицательным, я написал в первом же предложении, и именно по такой же причине - слева число положительно, а справа отрицательно. А вот дальше я вашу мысль не понял. Какое неравенство превращается в равенство? Здесь и так равенство изначально.

А вот то, что я x = 1 не проверил - это действительно косяк. (1+1)^2016*(1+1^2014)=2^2016*2=2^2017; а справа 2^2015. Так что тоже не подходит.

(1 + x)^2016 * (1 + x^2014) = (2x)^2015 При x < 0 слева будет положительное число (сумма четных степеней чисел),а слева отрицательное (отрицательное число в нечетной степени).Поэтому при x < 0 корней нет.При x = 0 получается(1 + 0)^2016 + 0^2014*(1 + 0)^2016 = (2*0)^20151 + 0 = 0Тоже не подходит.При 0 < x < 1 слева будет число > 1, а справа число < 1.При  0 < x < 1 корней нет.При x > 1 число слева будет во много раз больше, чем справа.Слева будет примерно (1 + x)^2016*x^2014 > x^4030, а справа 2^2015*x^2015При x > 1 корней нет.Ответ: действительных корней вообще нет.Но, так как это уравнение имеет 2016 + 2014 = 4030 степень, то,согласно основной теореме алгебры, у него ровно 4030 корней.И все они комплексные.