Исследовать функцию на монотонность и экстремумы
y=e^(2x)-3e^x+x+4

Если возможно, напишите решение подробно, любым комментариям в решении я был бы очень рад и благодарен.
Число е для меня - новая тема. И почему-то функция не хочет исследоваться обычным методом, по крайней мере в ответе учебника появились немыслимые для меня и невиданные решения в виде ОДЗ e^x принадлежащем чему-то или х принадлежит от натурального логарифма 1/2 до 0. Откуда все это...?

один из найденных корней после замены на t у вас -1/2. У меня получается положительное число 1/2

тему с двумя штрихами я еще не проходил, даже понятия не имею, что это такое. И в учебнике х макс = ln1/2

[tex]y=e^{2x}-3e^{x}+x+4 \\ y'=2e^{2x}-3e^{x}+1 \\ y'=0;2e^{2x}-3e^{x}+1=0 \\ e^{x}=t\ \textgreater \ 0 \\ 2t^2-3t+1=0 \\ D=9-8=1 \\ t_{1}=- \frac{1}{2}\ \textless \ 0 \\ t_{2}= \frac{3+1}{4}= \frac{4}{4}=1\ \textgreater \ 0 \\ e^x=1;x=ln1=0 \\ y''=4e^{2x}-3e^{x} \\ f''(0)=4-3=1\ \ 0;y_{min} =1-3+4=2;x=0 \\ y'\ \