Можно ли на окружности расставить числа от 1 до 1991 так, чтобы сумма любых из десяти подряд стоящих чисел делились на 11?
Заранее спасибо!

Вы меня не поняли

вот, теперь верно написали:)

Сумма чисел с о 2-го по 11 не всегда делится на 11. от 2 до 11 сумма 65,а деление без остатка не получиться.

Конечно, идущие по возрастанию со 2 по 11 вместе не делятся на 11. Но по условию, числа расставлены так, что "сумма любых из десяти подряд стоящих чисел делились на 11". Числа со 2 по 11 - это 10 подряд стоящих чисел. Значит она делится на 11.

согласен, что правильнее было бы писать в решении не "подряд идущие", а "подряд стоящие". именно это имелось в виду.

Нет, нельзя. Возьмем любых 11 подряд идущих чисел на круге. Сумма с 1-го по 10-ое делится на 11. Сумма со 2-го по 11 тоже делится на 11. Это значит, что 1-ое и 11-ое числа имеют одинаковые остатки при делении на 11, т.к. 9 чисел со 2-го по 10-ое у этих двух сумм общие. А это значит что любые два числа, между которыми есть 9 чисел, имеют одинаковые остатки при делении на 11. Т.е. если разделить все числа на группы по 10 чисел (кроме последней), то в каждой группе, например, первые элементы имеют одинаковые остатки. Этих групп всего не менее, чем [1991/10]=199. Т.е. должно быть не менее 199 чисел с одинаковым остатком. Но для каждого остатка от 0 до 10 среди чисел от 1 до 1991 есть всего 1991/11=181 чисел c этим остатком. Противоречие.