Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • доказать, что выражение x в квадрате +8x+18 принемает положительное значение при любом x.Какое наименьшее значение принемает это выражение и прикаком x?

Ответы 2

  • Дискриминант меньше нуля;

    (х+4)^2+2;

    Наименьшее значение 2

  • Рассматривается выражение y = x^2 + 8x + 18

     

    Докажем, что y положительно при любом значении x. Допустим, что это не так. Найдём такие x, при которых y ≤ 0. Для этого решим неравенство:

     

    x^2 + 8x + 18 \leq 0 \Leftrightarrow x^2 + 8x + 16 + 2 \leq 0 \Leftrightarrow \left(x + 4ight)^2 + 2 \leq 0

     

    Или

     

    \left(x + 4ight)^2 \leq -2

     

    Что не имеет решений, так как \left(x + 4ight)^2 \geq 0 \;\; \forall x

     

    Мы пришли к противоречию. Следовательно, y = x^2 + 8x + 18 принимает положительное значение при любых x.

     

    Для нахождения наименьшего значения найдём \frac{dy}{dx}:

     

    \frac{dy}{dx} = 2x + 8

     

    Приравняв его 0, найдём точку экстремума:

     

    2x + 8 = 0 \Rightarrow x = -4

     

    Убедимся, что найденная точка — действительно минимум.

     

    \frac{dy}{dx}|_{x=-5} = -10 + 8 = -2 < 0

     

    \frac{dy}{dx}|_{x=-3} = -6 + 8 = 2 > 0

     

    Итак, первая производная меняет в точке x = -4 знак с "-" на "+", следовательно, в этой точке мы действительно имеем минимум.

     

    Значение y при x = -4:

     

    y|_{x=-4} = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) + 18 = 2

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years