Докажите, что площадь правильного двенадцатиуголника со стороной a вычисляется по формуле S = 3a² (2+√3).

правильного двенадцатиуголника

количество сторон тоже 12

каждая сторона - это основание равнобедренного треугольника с вершиной в центре

правильного двенадцатиуголника

величина угла при вершине  360/12=30

углы при основании (180-30) /2 =75

пусть боковая сторона каждого треугольника  -b

тогда по теореме косинусов

a^2 = b^2 +b^2 -2*bb*cos30

a^2 = 2b^2(1-cos30) =2b^2(1-√3/2)=b^2(2-√3)

b^2 =a^2 / (2-√3)

площадь одного треугольника

S1 =1/2*b^2*sin30 =b^2/4 <---подставим   b^2

S1 =a^2 / 4(2-√3) <---домножим числ.  и знамен. на  (2+√3)

S1 =a^2(2+√3) / 4(2-√3)(2+√3) =a^2(2+√3) / 4(4-3) =a^2(2+√3) / 4

общая площадь S= 12*S1 =12*a^2(2+√3) / 4 = 3a² (2+√3).

ДОКАЗАНО