Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Взять интеграл от корня из 1-4x²

     

    ∫√(1-4x²)dx

Ответы 2

  • (1- 4x^2)^2/8 + c

    надеюсь что верно ..

    • Автор:

      bucko
    • 6 лет назад
    • 0

  • Тут я так понимаю нужно методом подстановки.

    Нужно сделать замену аргумента так, чтобы выражение упростилось

    подставим вместо x=sint/2

    \int\sqrt{(1-4x^2)}dx\\ x=\frac{sint}{2}\\

    при этом обе части дифференцируются

    dx=\frac{cost}{2}dt

    теперь подставляем все это: вместо x = sint/2, вместо dx = cost/2 dt

    \int\sqrt{(1-4x^2)}dx\\ \int\sqrt{(1-4(\frac{sint}{2})^2)} \frac{cost}{2}dt=\int\sqrt{(1-sin^2t)}\frac{cost}{2}dt=\\ =\int\sqrt{cos^2t}\frac{cost}{2}dt=\int cost*\frac{cost}{2}dt=\int \frac{cos^2t}{2} dt

    Теперь раскладываем cos^2x формулой понижения степени и тогда уже сможем проинтегрировать.

    \int \frac{cos^2t}{2} dt =\int \frac{\frac{1}{2}(1+cos2t)}{2} dt =(\frac{1}{4}+\frac{cos2t}{4})dt=\frac{t}{4}+\frac{sin2t}{4*2}=\frac{t}{4}+\frac{sin2t}{8}

    Теперь вместо t надо подставить то, что мы заменяли

    x=\frac{sint}{2}\\ 2x=sint\\ t=arcsin2x\\

    подставляем это в полученное нами выражение

    \frac{t}{4}+\frac{sin2t}{8}+C\\ \frac{arcsin2x}{4}+\frac{sin2(arcsin2x)}{8}+C=\frac{arcsin2x}{4}+\frac{4x\sqrt{4-x^2}}{8}+C=\\= \frac{arcsin2x}{4}+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+C

     

    • Автор:

      t-bone
    • 6 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years