Существует ли натуральное число, кратное 2015, сумма цифр которого равна 2015?

Да, существует. Достаточно взять число 1007510075....10075, где кусок 10075 повторяется 155 раз. Действительно, т.к. 1+0+0+7+5=13, то его сумма цифр равна 13*155=2015. С другой стороны, это число равно 10075*(1+10^5+10^10+...+10^770). Так как 10075=2015*5, то и все число делится на 2015.