найдите значение выражения tg20*tg40*tg80* не отвечайте неправильно,пожалуюсь

Ответ:

\sqrt{3}

Объяснение:

Найти значение выражения tg20*tg40*tg80.

Воспользуемся формулами

tg\alpha =\dfrac{sin\alpha }{cos\alpha }\\\\sin2\alpha = 2sin \alpha \cdot cos\alpha \\

и формулой приведения

cos( 90^{0} -\alpha)=sin\alpha

tg20^{0} \cdot tg40^{0} \cdot tg80^{0} =\dfrac{sin20^{0} }{cos20^{0} } \cdot \dfrac{sin40^{0} }{cos40^{0} } \cdot \dfrac{sin80^{0} }{cos80^{0} } =\\\\=\dfrac{2sin10^{0}\cdot cos 10^{0}\cdot 2sin20^{0}\cdot cos 20^{0} \cdot 2sin40^{0}\cdot cos 40^{0} }{cos20^{0} \cdot cos40^{0}\cdot cos(90^{0} -10^{0})} =\\\\=\dfrac{8sin10^{0}\cdot cos 10^{0}\cdot sin20^{0} \cdot sin40^{0} }{sin10^{0} } =8cos 10^{0}\cdot sin20^{0} \cdot sin40^{0}

Теперь воспользуемся формулами

2sin\alpha \cdot sin \beta = cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta );\\2cos\alpha \cdot cos \beta = cos(\alpha -\beta )+cos(\alpha +\beta ).

8cos 10^{0}\cdot sin20^{0} \cdot sin40^{0}=4cos 10^{0}\cdot2 sin20^{0} \cdot sin40^{0}=\\\\=4cos 10^{0}\cdot( cos20^{0} -cos60^{0} )=4cos 10^{0}\cdot\left(cos20^{0} -\dfrac{1}{2}\right ) =4cos 10^{0}\cdot cos20^{0} -\\\\-2cos10^{0} =2\cdot2 cos 10^{0}\cdot cos20^{0} -2cos10^{0} =2(cos10^{0} +cos30^{0} )-2cos10^{0}=\\\\=2cos10^{0} +2\cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} -2cos10^{0}=\sqrt{3}

#SPJ1