Начиная с числа 1, записали
подряд все натуральные числа до 2015 включительно и получили запись натурального числа M. Найдите остаток, который получится при делении числа M на 9.

Применяем признак делимости на 9:Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 Складываем цифры этого числа, разделив на 5 групп:первая 9: от 1 до 9   это        1+2+3+4+5+6+7+8+9=45- кратно 9вторая - от 10 до 99    это          10·1+10·2+10·3+10·4+10·5+10·6+10·7+10·8+10·9+45·9=        =10+45+20+45+30+45+40+45+50+45+60++45+70+45+80+45+90+45=       =450+45·9 - кратно 9третья - от 100 до 999четвертая от 1000 до 1999пятая от 2000 до 2015     первые 9         от 10      до 99                        от 100  до 999(1+2+3+...+9)+(1+0+1+1+... +9+8+9+9)+(1+0+0+1+0+1+...+9+9+9)+(1+0+0+0+...+1+9+9+9)+(2+0+0+0+...+2+0+1+5)=45+ (10·1+10·2+10·3+10·4+10·5+10·6+10·7+10·8+10·9+45·9)+(100·1+100·2+100·3+100·4+100·5+100·6+100·7+100·8+100·9+9·(10·1+10·2+10·3+10·4+10·5+10·6+10·7+10·8+10·9+45·9))+(1·1000+45+ (10·1+10·2+10·3+10·4+10·5+10·6+10·7+10·8+10·9+45·9)+(100·1+100·2+100·3+100·4+100·5+100·6+100·7+100·8+100·9+9·(10·1+10·2+10·3+10·4+10·5+10·6+10·7+10·8+10·9+45·9))+ +2·16+45+1+0+1+1+1+2+1+3+1+4+1+5Все слагаемые первых четырех групп (заканчивая подчеркнутыми)- кратны 9.Осталось сосчитать цифры от 2000 до 201532+45+6·1+1+2+3+4+5=32+45+6+15=53+45=45+8+45Остаток равен 8