Задайте формулой квадратичную функцию, если: а) её график проходит через точки А(0;-2) и В(-2;4) и функция принимает значение -4 в единственной точке б) её значения при х=-1 и при х=2 совпадают, её наибольшее значение равно 3, а график содержит точку Р(1;1)

Задайте формулой квадратичную функцию, если: а) её график проходит через точки А(0;-2) и В(-2;4) и функция принимает значение -4 в единственной точке б) её значения при х=-1 и при х=2 совпадают, её наибольшее значение равно 3, а график содержит точку Р(1;1)
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  ashtynriddle
- 5 лет назад

Ответы 1

а)Ищем функцию вида $y=ax^2+bx+c$ Подставляем координаты точки (0; -2): $-2=a\cdot0^2+b\cdot0+c \\\ c=-2$ Тогда функция принимает вид $y=ax^2+bx-2$ Подставляем координаты точки (-2; 4)^ $4=a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)-2 \\\ 4a-2b-2=4 \\\ 4a-2b=6 \\\ 2a-b=3 \\\ b=2a-3$ Зная, что значение -4 принимается в единственной точке, можно потребовать чтобы уравнение $ax^2+bx-2=-4$ имело ровно один корень, то есть равный нулю дискриминант: $ax^2+bx-2=-4 \\\ ax^2+bx+2=0 \\\ D=b^2-4\cdot2\cdot a=b^2-8a=0$ Ранее мы получили, что b=2a-3: $(2a-3)^2-8a=0 \\\ 4a^2-12a+9-8a=0 \\\ 4a^2-20a+9=0 \\\ D_1=(-10)^2-4\cdot9=64 \\\ a_1= \frac{10+8}{4} =4.5 \Rightarrow b_2=2\cdot4.5-3=6 \\\ a_2= \frac{10-8}{4} =0.5 \Rightarrow b_2=2\cdot0.5-3=-2$ Полученные функции: $y_1=4.5x^2+6x-2 \\\ y_2=0.5x^2-2x-2$ б)Ищем функцию вида $y=ax^2+bx+c$ Так как у(-1)=у(2), то: $a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c=a\cdot2^2+b\cdot2+c \\\ a-b=4a+2b \\\ 3a=-3b \\\ a=-b \\\$ Подставляем координаты точки (1; 1)^ $1=a\cdot1^2+b\cdot1+c \\\ a+b+c=1$ Так как а=-b, то: $-b+b+c=1 \\\ c=1$ Тогда функция принимает вид $y=ax^2+bx+1$ Зная максимальное значение то что максимальное значение достигается в единственной точке - вершине параболы, составляем уравнение и требуем, чтобы оно имело ровно один корень: $ax^2+bx+1=3 \\\ ax^2+bx-2=0 \\\ D=b^2-4\cdot(-2)\cdot a=b^2+8a=0$ Зная, что а=-b, получим: $b^2-8b=0 \\\ b(b-8)=0 \\\ b_1=0 \Rightarrow a_1=0 \\\ b_2=8 \Rightarrow a_2=-8$ Если а=0, то функция не квадратичная, этот вариант не берем в ответ.Полученная функция: $y=-8x^2+8x+1$
- Автор:
  julianna
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ