Самостоятельная работа 4.2
Показательные уравнения и неравенства
вариант 2

1.

а) 0,5³ˣ⁻² = 1,

0,5³ˣ⁻² = 0,5⁰,

3х - 2 = 0,

3х = 2,

х = 2/3

б) 5 · 3ˣ = 135,

3ˣ = 27,

3ˣ = 3³,

х =3

в) 2ˣ = 32 · 4^(1/5),

2ˣ = 2⁵ · 2^(2/5),

2ˣ = 2^(5 целых 2/5),

х = 5 целых 2/5

г) 5ˣ + 5ˣ⁺² = 26,

5ˣ + 5ˣ · 5² = 26,

5ˣ(1 + 25) = 26,

5ˣ · 26 = 26,

5ˣ = 1,

5ˣ = 5⁰,

х = 0

2.

а) 5^(x² - 5x + 8) = 25,

5^(x² - 5x + 8) = 5²,

х² - 5х + 8 = 2,

х² - 5х + 6 = 0,

D = (-5)² - 4 · 1 · 6 = 25 - 24 = 1; √1 = 1

х₁ = (5 + 1)/(2 · 1) = 6/2 = 3

х₂ = (5 - 1)/(2 · 1) = 4/2 = 2

б) 6²ˣ - 7 · 6ˣ + 6 = 0,

(6ˣ)² - 7 · 6ˣ + 6 = 0,

обозначим 6ˣ = у, получим и решим уравнение

у² - 7у + 6 = 0,

D = (-7)² - 4 · 1 · 6 = 49 - 24 = 25; √25 = 5

у₁ = (7 + 5)/(2 · 1) = 12/2 = 6

у₂ = (7 - 5)/(2 · 1) = 2/2 = 1

6ˣ = 6,

6ˣ = 6¹,

х = 6;

6ˣ = 1,

6ˣ = 6°,

х = 0.

3.

а) 3ˣ< 9 · 27^(1/5),

3ˣ < 3² · (3³)^(1/5),

3ˣ < 3² · 3^(3/5),

3ˣ < 3^(2 целых 3/5), т.к. а = 3 > 1, то перейдем к неравенству

х < 2 целых 3/5,

х ∈ (-∞; 2,6)

2 целых 3/5 = 2,6

б) 0,6^(x² - 5x) ≥ 1,

0,6^(x² - 5x) ≥ 0,6°, т.к. 0 < 0,6 < 1, то прейдем к неравенству

х² - 5х ≤ 0,

х(х - 5) ≤ 0,

х ∈ [0; 5] см. рис. в приложении.