• 5. Известно, что и сумма и произведение двух натуральных чисел a и b — квадраты натуральных чисел. Докажите, что число |16a-9b| — не простое.

Ответы 1

  • Пусть в силу условияa+b=x^2 (1)ab=y^2 (2)где х, y - некоторые натуральные числаПредположим что b \geq aтогда из второго соотношения (2) следует чтоb=ak^2где k - некоторое натуральное числооткуда|16a-9b|=|16a-9ak^2|=|a(16-9k^2)|=\\\\|a||16-9k^2|=a|16-9k^2|а значит число |16a-9b| сложное если |16-9k^2| eq 1 и a eq 1Рассмотрим варианты1) a=1b+1=x^2b=y^2что невозможно - два последовательных натуральных числа не могут быть квадратами натуральных чисел(доказательство єтого факта(b+1)-b=x^2-y^21=(x-y)(x+y)1=x-y1=x+y=>x=1; y=0)2) 16-9k^2=115=9k^25=3k^2=> k - ненатуральное -- невозможно3) 16-9k^2=-117=9k^2=> k - ненатуральное - невозможнотем самым окончательно доказали,что исходное утверждение верно.Случай когда a<b  Учитывая симметричность выражений a+b=b+a, ab=baдоказывается аналогично.Доказано
    • Автор:

      tessa69
    • 6 лет назад
    • 0
  • Добавить свой ответ

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years