2^(2x+1) + 3^ (2x+1) = 5* 6^x

Решение очень простое, достаточно обе части разделить на 6^х и получится примитивное квадратное уравнение, гляди

2*2^x + 3*3^x = 5*2^x*3^x       вот теперь разделим на 6^x

2*(2/3)^x + 3*(3/2)^x =1           Обозначим (2/3)^x = a, получим

2*a +3/a =1

2*a^2 -5*a +3 = 0,  откуда а=3/2, а=1, то есть

(2/3)^x =3/2                   (2/3)^x = 1

   x=-1                                  x=0

Вот и всё. 

разделим обе части равенства на 6^x (6^x не равно 0) 6^x = (2*3)^x = 2^x * 3^x

2^(2x+1-x) / 3^x + 3^(2x+1-x) / 2^x = 5

2^(x+1) / 3^x + 3^(x+1) / 2^x = 5

2 * (2/3)^x + 3 * (3/2)^x = 5 ___ обозначим (2/3)^x === y

2y + 3/y = 5

2y^2 - 5y + 3 = 0 (y тоже не равно 0)

D = 25 - 4*2*3 = 1

y1 = (5+1)/4 _____ y2 = (5-1)/4

y1 = 3/2 _____ y2 = 1

(2/3)^x = (2/3)^(-1) _____ (2/3)^x = (2/3)^0

x1 = -1 _____ x2 = 0