1/3 14/5 8/3 25/7 найти предел N член цепи в виде формулы

Геометрическая прогрессия Последовательность чисел {an} называется геометрической прогрессией, если отношение последующего члена к предыдущему равно одному и тому же постоянному числу q, называемому знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, для всех членов геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0 и q ≠ 1. Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле: Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется выражением Говорят, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если предел существует и конечен. В противном случае прогрессия расходится. Пусть представляет собой бесконечный ряд геометрической прогрессии. Данный ряд сходится к, если знаменатель |q| < 1, и расходится, если знаменатель |q| > 1. Пример 1 Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ..Решение. Здесь a1 = 3 и q = 2. Для n = 8 получаем Пример 2 Найти сумму ряда . Решение. Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q = − 0,37. Следовательно, прогрессия сходится и ее сумма равна Пример 3 Найти сумму ряда Решение. Здесь мы имеем дело с конечной геометрической прогрессией, знаменатель которой равен . Поскольку сумма геометрической прогрессии выражается формулой то получаем следующий результат: Пример 4 Выразить бесконечную периодическую дробь 0,131313... рациональным числом. Решение. Запишем периодическую дробь в следующем виде: Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем, получаем Пример 5 Показать, что при условии x > 1. Решение. Очевидно, что если x > 1, то . Тогда левая часть в заданном выражении представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Используя формулу, левую часть можно записать в виде что доказывает исходное соотношение. Пример 6 Решить уравнение Решение. Запишем левую часть уравнения в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Тогда уравнение принимает вид Находим корни квадратного уравнения: Поскольку |x| < 1, то решением будет . Пример 7 Известно, что второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равен 21, а сумма равна 112. Найти первый член и знаменатель прогрессии. Решение. Используем формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии