(1+корень из 3i)^3=? (1+корнеь из 3I) ^5 =? (1+i)^-3степени=? (1+i)в минус6 стпени =? Вычислите и изобразите на комплексной плоскости 3^корень 64 3^корень из -27

(1+корень из 3i)^3=?

(1+корнеь из 3I) ^5 =?

(1+i)^-3степени=?

(1+i)в минус6 стпени =?

Вычислите и изобразите на комплексной плоскости

3^корень 64

3^корень из -27
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  shyla
- 6 лет назад

Ответы 1

Рассмотрим $z=1+ \sqrt{3} i$ . Модуль комплексного числа $|z|= \sqrt{1^2+(\sqrt{3} )^2} =2$ . Тогда $1+i\sqrt{3} =2\bigg( \dfrac{1}{2} +i \dfrac{\sqrt{3} }{2} \bigg)=2\bigg(\cos \dfrac{\pi}{3}+ i\sin\dfrac{\pi}{3}\bigg)$ Согласно формуле Муавра: $\boxed{z^3=2^3\cdot\bigg(\cos\dfrac{3\pi}{3}+i\sin\dfrac{3\pi}{3}\bigg)=8\cdot\bigg(\cos \pi +i\sin \pi \bigg)=-8}$ Аналогично делаем и со вторым примером(По формуле Муавра). $\boxed{z^5=2^5\cdot\bigg(\cos\dfrac{5\pi}{3}+i\sin\dfrac{5\pi}{3}\bigg)=32\cdot\bigg( \frac{1}{2} -i \frac{ \sqrt{3} }{2} \bigg)=16-16i \sqrt{3} }$ Рассмотрим $z=i+1$ . Тогда $|z|= \sqrt{2}$ и $z=\sqrt{2} \bigg( \dfrac{1}{\sqrt{2} } +i\dfrac{1}{\sqrt{2} } \bigg)= \sqrt{2} \bigg(\cos \dfrac{\pi}{4} +i\sin\dfrac{\pi}{4} \bigg)$ По формуле Муавра: $\boxed{z^{-3}=( \sqrt{2} )^{-3}\bigg[\cos\bigg(-\dfrac{3\pi}{4} \bigg)+i\sin\bigg(-\dfrac{3\pi}{4} \bigg)\bigg]= - \frac{1}{4} - \frac{i}{4} }$ Аналогично $\boxed{z^{-6}=( \sqrt{2} )^{-6}\bigg[\cos\bigg(-\dfrac{6\pi}{4} \bigg)+i\sin\bigg(-\dfrac{6\pi}{4} \bigg)\bigg]= \frac{i}{8} }$ $\sqrt[3]{64}$ Рассмотрим $z=64+0i$ . Тогда $z=64(1+0i)=64\cdot(\cos 0+i\sin 0)$ По формуле Муавра: $\boxed{ \sqrt[3]{z}=4\bigg(\cos \frac{2 \pi k}{3}+i\sin \frac{2 \pi k}{3} \bigg),~~~ k=0,1,2 }$ $\sqrt[3]{-27}$ Рассмотрим $z=-27+0i=27(-1+0i)=27(\cos \pi +i\sin \pi )$ $\boxed{ \sqrt[3]{z}=3\bigg(\cos \frac{ \pi +2 \pi k}{3}+i\sin \frac{ \pi +2 \pi k}{3} \bigg),~~~ k=0,1,2 }$
- Автор:
  nicolaskvkw
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ