4sin^2x-2sinxcosx=3 помогите, пожалуйста

Ответ:

-\frac{\pi }{4} +\pi k, ~k\in\mathbb {Z};  arctg 3+\pi n, ~n\in\mathbb {Z}

Объяснение:

4sin^{2} x - 2sinxcosx =3;\\4sin^{2} x - 2sinxcosx =3(sin^{2} x+cos^{2} x);\\4sin^{2} x - 2sinxcosx -3 sin^{2} x- 3cos^{2} x=0; \\sin^{2} x -2sinxcosx -3cos ^{2} x=0.

Данное уравнение является однородным второй степени , разделим обе части данного уравнения на cos^{2} x\neq 0 .

cos^{2} x\neq 0 так если cos^{2} x=0 , то тогда иsin^{2} x=0 , а это невозможно, так как нарушается основное тригонометрическое тождество

sin^{2} x+cos^{2} x=1.

\sin^{2} x -2sinxcosx -3cos ^{2} x=0|: cos^{2} x\neq 0;\\\\\frac{sin^{2}x }{cos^{2}x} - \frac{2sinxcosx}{cos^{2}x } -\frac{3cos^{2} x}{cos^{2}x } =0;\\\\tg^{2} x-2tgx-3=0.

Пусть tgx=t, тогда уравнение принимает вид:

t^{2} -2t-3=0;\\D{_1} = 1+3=4=2^{2} ;\\ \left [\begin{array}{l} t = -1, \\ t = 3.\end{array} \right.

Тогда получим

1) tgx= -1 ;\\x=-\frac{\pi }{4} +\pi k,~k\in\mathbb {Z}

2) tgx=3;\\x=arctg 3+\pi n, ~n\in\mathbb {Z}