найдите числа представляющие собой кубы натуральных чисел и имеющие вид 13р+1, где р простое число

Обозначим искомое число как , по условию . Перенесём единицу в левую часть и разложим разность кубов на множители:Понятно, что , тогда обе скобки-сомножителя - натуральные числа, большие 1. С другой стороны, произведение представляется в виде двух натуральных сомножителей, больших единицы, единственным (с точностью до перестановок) способом: . Поэтому , равны либо и , либо и .Случай 1. Из первого уравнения следует, что , тогда после подстановки во второе уравнение находим . - действительно простое число, так что нас устраивает.Случай 2. Тут всё немного сложнее: уравнение на квадратное, а не линейное, как в первом случае. Упростив, получаем уравнение , у которого только один натуральный корень .Подставляем в первое равенство: - простое число, так что и тут нас всё устраивает.Ответ. ,