Помогите решить логорифмическое неравенство! log21+4x-x^2(7-x)/logx+3(21+4x-x^2)<1/4

Помогите решить логорифмическое неравенство! log21+4x-x^2(7-x)/logx+3(21+4x-x^2)<1/4
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  cubbyaiuc
- 6 лет назад

Ответы 1

$\frac{log_{21+4x-x^2}(7-x)}{log_{x+3}(21+4x-x^2)} \ \textless \ \frac{1}{4}$ ОДЗ: 21 + 4x - x² > 0 21 + 4x - x² ≠ 1 7 - x > 0 x + 3 > 0 x + 3 ≠ 121 + 4x - x² > 0x² - 4x - 21 < 0x² - 4x - 21 = 0По теореме Виета: x₁ = -3, x₂ = 7.x² - 4x - 21 < 0x ∈ (-3; 7)21 + 4x - x² ≠ 1x² - 4x - 20 ≠ 0D = 16 + 80 = 96 $x_1 eq \frac{4- \sqrt{96}}{2} = 2 -\sqrt{24} = 2(1-\sqrt{6}) \\ x_2 eq \frac{4+\sqrt{96}}{2} = 2+\sqrt{24}=2(1+\sqrt{6})$ 7 - x > 0x < 7 x + 3 > 0x > -3x + 3 ≠ 1x ≠ -2Окончательно, ОДЗ: x ∈ (-3; $2(1-\sqrt{6})$ ) U ( $2(1-\sqrt{6})$ ; -2) U (-2; $2(1+\sqrt{6})$ ) U ( $2(1+\sqrt{6})$ ; 7).Решаем само неравенство: $\frac{log_{-(x+3)(x-7)}(7-x)}{log_{x+3}(-(x+3)(x-7))} \ \textless \ \frac{1}{4} \\ \frac{log_{(x+3)(7-x)}(7-x)}{log_{x+3}((x+3)(7-x))} \ \textless \ \frac{1}{4}$ $\frac{1}{log_{7-x}((x+3)(7-x))*log_{x+3}((x+3)(7-x))} \ \textless \ \frac{1}{4} \\ \frac{1}{(log_{7-x}(x+3)+1)*(1+ log_{x+3}(7-x))} \ \textless \ \frac{1}{4}$ $\frac{1}{( \frac{1}{ log_{x+3}(7-x)}+1)*(1+ log_{x+3}(7-x))} \ \textless \ \frac{1}{4} \\ \frac{log_{x+3}(7-x)}{(1+ log_{x+3}(7-x))^2} \ \textless \ \frac{1}{4}$ Замена: $t=log_{x+3}(7-x) \\ \frac{t}{(1+t)^2} \ \textless \ \frac{1}{4} \\ \frac{4t-(1+t)^2}{4(1+t)^2} \ \textless \ 0$ $\frac{4t-1-2t-t^2}{4(1+t)^2} \ \textless \ 0 \\ \frac{-(1-t)^2}{4(1+t)^2} \ \textless \ 0$ $\frac{(1-t)^2}{4(1+t)^2}\ \textgreater \ 0$ t ≠ 1t ≠ -1Делаем обратную замену: $log_{x+3}(7-x) eq 1 \\ log_{x+3}(7-x) eq -1$ $7-x eq x+3\\ 7-x eq \frac{1}{x+3}$ $2x eq 4\\ \frac{(7-x)(x+3)-1}{x+3} eq 0$ $x eq 2\\ \frac{20+4x-x^2}{x+3} eq 0$ $x eq 2\\ x^2-4x-20 eq 0 \\ x+3 eq 0$ $x eq 2\\ x^2-4x-20 eq 0 \\ xeq -3$ Учитывая ОДЗ, окончательный ответ: x ∈ (-3; $2(1-\sqrt{6})$ ) U ( $2(1-\sqrt{6})$ ; -2) U (-2; 2) U (2; $2(1+\sqrt{6})$ ) U ( $2(1+\sqrt{6})$ ; 7).
- Автор:
  poochie
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ