Задача на геометрическую прогрессию: Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго треугольника построен третий и т.д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.

Задача на геометрическую прогрессию: Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго
треугольника построен третий и т.д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  rapunzel6p67
- 6 лет назад

Ответы 2

И МОДЕРАТОРЫ тоже могут отвечать?
- Автор:
  casey24
- 6 лет назад
- 0
Обозначения: $a_i$ - сторона i-ого треугольника $h_i$ - высота i-ого треугольника $P_i$ - периметр i-ого треугольникаПерметр равностороннего треугольника определяется по формуле $P_i=3a_i$ , значит если стороны заданных треугольников образую геометрическую прогрессию, то и их периметры также образуют геометрическую прогрессию.Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной $a_1=8sm$ . Так как треугольник равносторонний, то все его высоты равны. Найдем длину одной из них. Высота является противолежащим катетом для угла равностороннего треугольника 60 градусов, гипотенузой в таком прямоугольном треугольнике является сторона равностороннего треугольника: $\sin 60^0= \frac{h_1}{a_1} \\\ h_1=a_1\sin60^0=a_1\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}$ Так как высота треугольника есть длина стороны следующего треугольника, т.е. $h_1=a_2$ , то: $a_2=a_1\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}$ Вывод: длина стороны следующего треугольника есть длина стороны предыдущего треугольника, умноженная на множитель $\frac{ \sqrt{3} }{2}$ (для геометрической прогрессии он и будет являться знаменателем).Рассуждая аналогично: $a_3=h_2=a_2\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =a_1\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}=a_1\cdot (\frac{ \sqrt{3} }{2})^2 \\\ a_4=h_3=...=a_1\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^3 \\\ ... \\\ a_n=h_{n-1}=a_1\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^{n-1}$ Стороны образую геометрическую прогрессию, значит и их периметры также образуют геометрическую прогрессию: $P_n=3a_n=3a_1\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^{n-1}$ Можно подставить длину стороны исходного треугольника: $P_n=3\cdot8\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^{n-1}$ $P_n=24\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^{n-1}$ - общая формула n-ого членаДля n=6: $P_6=24\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^{6-1}=24\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^5=24\cdot\frac{9 \sqrt{3} }{32}=3\cdot\frac{9 \sqrt{3} }{4}=\frac{27 \sqrt{3} }{4}(sm)$
- Автор:
  moran
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ