4x^2-x^4 Исследовать и построить график функции.

4x^2-x^4 Исследовать и построить график функции.
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  warren9
- 6 лет назад

Ответы 1

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел
$\mathrm{D(f)=(-\infty;+\infty).}$
2. Чётность и нечётность функции: проверим на четность функции с помощью соотношений: $\mathrm{f(-x)=-f(x)=f(x)}$
$\boldsymbol{f(-x)=4\cdot(-x)^2-(-x)^4=4x^2-x^4=f(x)}$
Итак, f(-x) = f(x) значит заданная функция является четной.
3. Точки пересечения с осями координат.
3.1. точки пересечения с осью Ох. График функции пересекает ось абсциссу при f = 0 значит нужно решить уравнение:
$\boldsymbol{4x^2-x^4=0}\\ \boldsymbol{-x^2(x^2-4)=0}\\ \boldsymbol{x_1=0;}\\ \boldsymbol{x_2=2}\\ \boldsymbol{x_3=-2}$
(0;0), (2;0), (-2;0) - точки.
3.2. точки пересечения с осью Оу. График пересекает ось ординат, когда х=0, т.е. подставляем x=0 в функцию, получим
$\boldsymbol{f(0)=4\cdot0^2-0^4=0}$
(0;0) - точка
4. Функция не является периодичной.
5. Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $f'(x)=0$
$\boldsymbol{f'(x)=(4x^2-x^4)'=(4x^2)'-(x^4)'=8x-4x^3}\\\boldsymbol{8x-4x^3=0}\\ \boldsymbol{-4x(x^2-2)=0}\\ \boldsymbol{x_1=0}\\ \boldsymbol{x_{2,3}=\pm\sqrt{2}}$
Найдем интервалы возрастание и убывания функции:
______+____(-√2)_____-____(0)________+_____(√2)______-____
Функция возрастает на промежутке $x \in (-\infty;-\sqrt{2})\cup(0;\sqrt{2} )$ , а убывает - $x \in (-\sqrt{2};0 )\cup(\sqrt{2} ;+\infty)$
$x=\pm\sqrt{2}$ - локальные максимумы
$x=0$ - локальный минимум.
6. Точки перегиба.
Вторая производная функции: $\boldsymbol{f''(x)=-12x^2+8}$
$\boldsymbol{-12x^2+8=0}\\ \boldsymbol{x_{1,2}=\dfrac{\sqrt{6} }{3}}$
___-____(-√6/3)____+__(√6/3)___-____
Функция вогнутая на промежутке $x \in (-\frac{\sqrt{6} }{3} ;\frac{\sqrt{6} }{3} )$ , а выпуклая на промежутке $x \in (-\infty;-\frac{\sqrt{6} }{3} )\cup(\frac{\sqrt{6} }{3} ;+\infty)$
7. Асимптоты
Здесь вертикальных асимптот нет. Найдем теперь горизонтальные асимптоты.
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при $x\to \pm\infty$
$\displaystyle \boldsymbol{ \lim_{x \to \pm\infty} (-x^4+4x^2)=\pm\infty}$
Предел не существует, следовательно горизонтальной асимптоты нет.
Вертикальной асимптоты нет.
- Автор:
  pockets
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ