Решить уравнение Z^3+8i=0

Решить уравнение Z^3+8i=0
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  bailee38
- 5 лет назад

Ответы 2

z³ + 8i = 0; i² = -1; i³ = -i ⇒ (2i)³ = -8i
$z^3 + 8i = 0~~~\Leftrightarrow~~~x^3-(2i)^3=0\\(z-2i)(z^2+2iz+(2i)^2)=0\\(z-2i)(z^2+2iz-4)=0\\\\1)~z-2i=0;~~~\boxed{\boldsymbol{z_1=2i}}\\\\2)~z^2+2iz-4=0\\\\~~~\dfrac D4= i^2+4=-1+4=3\\\\~~~~\boxed{\boldsymbol{z_2=-i+\sqrt3;~~~~z_3=-i-\sqrt3}}$
======================
Использована формула разности кубов
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
- Автор:
  bentley
- 5 лет назад
- 0
Можно разложить на множители по формуле разности кубов. Я предоставлю другой способ, которое чаще всего применяют
$z=\sqrt[3]{-8i}$
$a=-8i=0-8i$
Модуль комплексного числа: $|a|=\sqrt{0^2+(-8)^2}=8$
$a=0-8i=8(0-i)=8\cdot \left(\cos (-\frac{\pi}{2})+i\sin(-\frac{\pi}{2})ight)$
Тогда
$z=\sqrt[3]{-8i}=\sqrt[3]{8}\left(\cos\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3}+i\sin\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3}ight),~~~~k=0,1,2$
$z_1=\sqrt[3]{8}\left(\cos\frac{-\frac{\pi}{2}}{3}+i\sin\frac{-\frac{\pi}{2}}{3}ight)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}iight)=\sqrt{3}-i\\ \\ z_2=\sqrt[3]{8}\left(\cos\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}+i\sin\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}ight)=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}iight)=-\sqrt{3}-i$
$z_3=\sqrt[3]{8}\left(\cos\frac{-\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}+i\sin\frac{-\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}ight)=2\left(0+iight)=2i$
- Автор:
  valeriaenhg
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ