Факториал. Объясните, пожалуйста!
n! - n факториал можно записать как n (n-1) (n-2) (n-3) (n-4) (n-5)! допустим если надо было разделить на (n-5)! ?
И также n! можно записать как (n+1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5)! ?
Также можно записать как (n-1)! (n-2) (n-3) n (n+1) (n+2) (n+3) ? Разве можно расписать до бесконечности такие скобки n+N, где N - натуральные числа ?

В учебника даётся уравнение с решением, преобразование которого мне не понятно:

[tex]5*C_n^3=C_{n+2}^4\\5*\frac{n!}{3!(n-3)!}=\frac{(n+2)!}{4!(n+2-4)!}[/tex]
Понятно, по формуле [tex]C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}[/tex] расписали. Идём дальше:
[tex]5*\frac{(n-3)!(n-2)(n-1)n}{3!(n-3)!}=\frac{(n-2)!(n-1)n(n+1)(n+2)}{4!(n-2)!}[/tex]
Сто стало с выражениями в числителе? n! и (n+2)! расписали так, как в самом начали написал? Эти "знания" как-то надо упорядочить, а то я своими догадками не уверен.
Дальше:
[tex]5*(n-2)=\frac{1}{4}(n^2+3n+2)[/tex]
...хорошо, полагаю 3! и 4! записали как (1*2*3) и (1*2*3*4) и сократили на (1*2*3). К общему знаменателю разве не приводят?
Ладно, в предыдущей строке расписали скобки и сократив скобки получили бы:
[tex]5*\frac{(n-3)!(n-2)(n-1)n}{3!(n-3)!}=\frac{(n-2)!(n-1)n(n+1)(n+2)}{4!(n-2)!}=\\=5*\frac{(n-2)(n-1)n}{3!}=\frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{3!*4}[/tex]
Можно ли сократить на n(n-1)? Ведь именно это и сделано.

т.е. от факториала n! можно пойти только на убывание, но не на возрастание

Да. Просто надо понимать, что факториал - это произведение, которое обозначили таким образом (чтобы не писать длинные выражения). А последни множителем в этом произведении является то число, которое стоит перед факториалом ( ! ), а ве остальные множители отличаются друг от друга на 1 и явл. натуральными числами (употреюляемыми при счёте).

столько часов просидел за учебником и писком в интернете ответов на конкретные свои вопросы, и только вы помогли, прям груз с плеч! везде сразу формулы даются и решения задач

всё, вопросов на эту тему пока нет)

Это хорошо.

потому, что перед факториалом указывается последний множитель (натуральное число). А (n+1) - уже больше  n  и  в  n! не входит .Далее в формуле расписали  n!  и (n+2)! через факториалы, которые стоят в знаменателях, чтобы потом произвести сокращение.Ну, и конечно, в конце сократили на  .