Решить уравнение: sin2x+2ctgx=3

Решить уравнение: sin2x+2ctgx=3
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  victor7qc5
- 6 лет назад

Ответы 1

$\sin2x+2ctg x=3\\ 2\sin x\cos x+2\cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}=3 \\ \\ 2\sin x\cdot \bigg| \sqrt{1-\sin^2x}\, \bigg|+2\cdot \dfrac{\bigg| \sqrt{1-\sin^2x}\,\bigg| }{\sin x} =3$ Пусть $\sin x =t$ , тогда получаем: $2t\bigg| \sqrt{1-t^2} \,\bigg|+2\cdot \dfrac{\bigg| \sqrt{1-t^2} \,\bigg|}{t} =3$ ОДЗ: $1-t^2 \ \textgreater \ 0;\,\,\,\, and\,\,\,\,\,\, te 0$ $2t \sqrt{1-t^2} +2\cdot \dfrac{\sqrt{1-t^2}}{t} =3 |\cdot t\\ \\ 2t^2 \sqrt{1-t^2} +2 \sqrt{1-t^2} =3t\\ \\ 2 \sqrt{1-t^2} (t^2+1)=3t$ Возведем обе части в квадрат $4(1-t^2)(t^2+1)^2=9t^2$ Пусть $t^2=a$ , причем $a \geq 0$ $-4(a-1)(a+1)^2-9a=0\\ -4a^3-4a^2+4a+4-9a=0\\ 4a^3+4a^2+5a-4=0$ Добавим и вычтем некоторые слагаемые: $4a^3-2a^2+6a^2-3a+8a-4=0\\ 2a^2(2a-1)+3a(2a-1)+4(2a-1)=0\\ (2a-1)(2a^2+3a+4)=0$ Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $2a-1=0\\ a=\dfrac{1}{2}$ $2a^2+3a+4=0$ Вычислим дискриминант квадратного уравнения: $D=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot 4 \ \textless \ 0$ $D\ \textless \ 0$ , значит квадратное уравнение действительных корней не имеет.Обратная замена $t^2=\dfrac{1}{2}\\ \\ t=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ Корень $x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ - лишний $x= \dfrac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}$
- Автор:
  zaidrqtv
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ