исследование функции 0.5x^4-8x^2

1)четность, нечетность

2)точки пересечения с осями координат

а) осью ох

б) с осью оу

3) монотонность и экстремумы

4) выпуклость, вогнутость

помогите очень надо((

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) функция четная, если f(x) = f(-x)

f(x) = 0.5x^4 - 8x^2

f(-x) = 0.5(-x)^4 - 8(-x)^2 = 0.5x^4 - 8x^2 = f(x) --- функция четная

2а) у точек, лежащих на оси ОХ, координата у = 0

значит, чтобы найти х --- нужно решить уравнение y = 0.5x^4 - 8x^2 = 0

x^2(0.5x^2 - 8) = 0

x = 0     x^2 = 16 => x = +-4

точки пересечения с осью ОХ: (-4; 0), (0; 0), (4; 0)

2б) у точек, лежащих на оси ОУ, координата х = 0

у = 0.5*0 - 8*0 = 0

точка пересечения с осью ОУ: (0; 0)

3) чтобы найти экстремумы, найдем производную

f ' (x) = 2x^3 - 16x

2x^3 - 16x = 0

x(x^2 - 8) = 0

x = 0     x = +-2корень(2) ---абсциссы точек экстремума

у = 0     у = 0.5(+-2корень(2))^4 - 8(+-2корень(2))^2 = 0.5*64 - 8*8 = 32 - 64 = -32

точки экстремума: (-2корень(2); -32), (0; 0), (2корень(2); -32)

если х < -2корень(2), f ' (x) < 0 => функция убывает

если -2корень(2) < х < 0, f ' (x) > 0 => функция возрастает

если 0 < х < 2корень(2), f ' (x) < 0 => функция убывает

если х > 2корень(2), f ' (x) > 0 => функция возрастает

функция монотонно возрастает когда -2корень(2) < х < 0 и х > 2корень(2)

функция монотонно убывает когда х < -2корень(2) и 0 < х < 2корень(2)

=> (0; 0) --- локальный max функции, (-2корень(2); -32), (2корень(2); -32) --- min функции

4) если f '' (x) < 0, то график функции выпуклый

найдем вторую производную

f '' (x) = 6x^2 - 16

6x^2 - 16 = 0

x = +-2корень(2)/корень(3)

парабола, ветви вверх, => f '' (x) < 0 между корнями,

т.е. при -2корень(2)/корень(3) < х < 2корень(2)/корень(3) график функции выпуклый (выпуклый вверх)

при х < -2корень(2)/корень(3) и х > 2корень(2)/корень(3) график функции вогнутый (выпуклый вниз)

(-2корень(2)/корень(3); -17_7/9), (2корень(2)/корень(3); -17_7/9) ---точки перегиба