Решите неравентсво [tex] x^4-x^3-4x^2-x+1\ \textgreater \ 0 [/tex]

Решите неравентсво
[tex] x^4-x^3-4x^2-x+1\ \textgreater \ 0 [/tex]
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  rosa46
- 6 лет назад

Ответы 7

Не стоило так много писать. Просто до меня туго доходит. Пришлось лезть в учебник Мордковича и смотреть как находятся корни в уравнениях степени выше 2-й
- Автор:
  dulcesantiago
- 6 лет назад
- 0
Ваш ответ исчевпывающий
- Автор:
  carleybfte
- 6 лет назад
- 0
Если вы полагаете, что меня утруждает многописание – то это не так :–) Меня намного сильнее утруждает повторение, так что, предваряя возможное недопонимание, я всегда стараюсь высказаться исчерпывающе. И получается длинно. На самом деле писать кратко – куда сложнее писать коротко и добиваться такого же понимания.
- Автор:
  bartolomérichardson
- 6 лет назад
- 0
Так что не просите писать кратко – это лишком сложно! Сократить текст традиционно просят издатели и диссертационные советы. Это всегда так обидно. Давайте оставим это место – территорией свободы для высказываний :–)
- Автор:
  blaynem3z2
- 6 лет назад
- 0
ОК
- Автор:
  fuzzy
- 6 лет назад
- 0
$x^4-x^3-4x^2-x+1\ \textgreater \ 0$ Для начала решим уравнение: $x^4-x^3-4x^2-x+1=0$ Решим методом неопределенных коэффициентов.Зная, что любой многочлен четвертой степени можно разложить на два квадратных многочлена, применим схему: $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=\\x^4+ax^3+cx^3+acx^2+bx^2+dx^2+bcx+adx+bd=\\ x^4+x^3(a+c)+x^2(ac+b+d)+x(ad+bc)+bd$ Составим систему уравнений: $\left\{\begin{matrix} a &+ &c &= &-1 & & \\ ac &+ &b &+ &d &= &-4 \\ ad &+ &bc &= &-1 & & \\ bd &= &1 & & & & \end{matrix}ight.$ Подберем к четвертому уравнению пару, удовлетворяющую нашей системе: $\left\{\begin{matrix} b &= &1 \\ d &= &1 \end{matrix}ight.\ \ \left\{\begin{matrix} b &= &-1 \\ d &= &-1 \end{matrix}ight.$ Нам подошла система первой пары. Подставляем и решаем уравнение: $a=-1-c$ $c(-1-c)+1+1=-4\\ -c-c^2+2=-4\\ -c^2-c+6=0\ |:(-1)\\ c^2+c-6=0\\ D=1+24=25; \sqrt{D} =5\\\\ c_{1/2}= \frac{-1\pm5}{2} \\ c_1=-3\\ c_2=2$ Возьмем любое значение с и выполним проверку: $ad+bc=-1\\ 2\cdot(-3)+1+1=-4\\ -6+2=-4\\ -4=-4$ Итог: $a=-3\\ b=1\\ c=2\\ d=1$ Возвращаемся к нашей схеме. Подставим все найденные элементы: $(x^2-3x+1)(x^2+2x+1)=0\\\\ x^2-3x+1=0\\ D=9-4=5; \ \sqrt{D} =\sqrt{5}\\\\ x_{1/2}= \frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \\\\\\ (x+1)^2=0\\ x+1=0\\ x=-1$ __+__-1__+__ $\frac{3-\sqrt5}{2}$ __-__ $\frac{3+\sqrt5}{2}$ __+__Ответ: $x\in (-\infty; -1)\bigcup(-1; \frac{3-\sqrt5}{2})\bigcup( \frac{3+\sqrt5}{2}; +\infty)$
- Автор:
  absalón
- 6 лет назад
- 0
$x^4 - x^3 - 4x^2-x+1>0 \ ;$ Найдём нули функции: $f(x) = x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 \ ;$ Для этого решим уравнение: $x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0 \ ;$ По теореме Безу о модулях рациональных корней многочлена, которая гласит, что их числители являются делителями свободного слагаемого, а знаменатели – делителями старшего коэффициента, находим, что модуль возможного корня единственный: $|x| = 1 \ ;$ Проверим: $x = \pm1 \ \ \ : \ \ \ f(\pm1) = (\pm1)^4 - (\pm1)^3 - 4 \cdot (\pm1)^2 \mp 1 + 1 = 1 \mp 1 - 4 \mp 1 + 1 = -2 \mp 2 \ ;$ Откуда ясно, что $f(x=-1) = -2 + 2 = 0 \ ;$ Итак $x=-1 \$ – один из корней указанного уравнения. По теореме Виета исследуемый многочлен должен делиться без остатка на $(x+1) \ ,$ выделим этот множитель: $x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = x^3 (x+1) - 2x^3 - 4x^2 - x + 1 = \\\\ = x^3 (x+1) - 2x^2(x+1) - 2x^2 - x + 1 = \\\\ = x^3 (x+1) - 2x^2(x+1) - 2x(x+1) + x + 1 = \\\\ = (x+1) ( x^3 - 2x^2 - 2x + 1 ) \ ;$ По теореме Безу о модулях рациональных корней многочлена, в применении уже к кубическому многочлену, стоящему в длинной скобке, находим, что модуль возможного корня единственный: $|x| = 1 \ ;$ Проверим: $x = \pm1 \ \ \ : \ \ \ (\pm1)^3 - 2 \cdot (\pm1)^2 - 2 \cdot (\pm1) + 1 = \pm 1 - 2 \mp 2 + 1 = -1 \mp 1 \ ;$ Откуда ясно, что $x=-1 \$ – кратный корень,который подходит и в кубический многочлен.Итак $x=-1 \$ – двойной корень указанного уравнения. По теореме Виета исследуемый многочлен должен дважды делиться без остатка на $(x+1) \ ,$ выделим этот множитель вторично: $x^3 - 2x^2 - 2x + 1 = x^2(x+1) - 3x^2 - 2x + 1 = \\\\ = x^2(x+1) - 3x(x+1) + x + 1 = (x+1) ( x^2 - 3x + 1 ) \ ;$ Таким образом: $x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = (x+1)^2 ( x^2 - 3x + 1 ) \ ;$ И не составит никакого труда решить уравнение: $(x+1)^2 ( x^2 - 3x + 1 ) = 0 \ ;$ $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 \ ;$ $x_1 = -1 \ ;$ $x_{2,3} = \frac{ 3 \pm \sqrt{5} }{2} \ ;$ $x_{2,3} > 0 > x_1 \ ;$ По теореме Виета мы можем переписать исходное неравенство, как: $x^4 - x^3 - 4x^2-x+1>0 \ ;$ $(x+1)^2 ( x - \frac{ 3 - \sqrt{5} }{2} ) ( x - \frac{ 3 + \sqrt{5} }{2} ) > 0 \ ;$ С учётом знака и степени при старшем коэффициенте – функция, очевидно, монотонно уходит на $+\infty \ ;$ при $x \to \pm \infty \ ;$ При переходе через $x_1 \$ функция не меняет знака, так как корень чётный, однако нужно понимать, что сам корень не удовлетворяет строгому неравенству.При переходе через $x_{2,3} \$ функция меняет знак, а сами корни тоже не удовлетворяет строгому неравенству.Окончательно имеем: $x \in ( -\infty ; -1 ) \cup ( -1 ; \frac{ 3 - \sqrt{5} }{2} ) \cup ( \frac{ 3 + \sqrt{5} }{2} ; +\infty) \ ; \ \Rightarrow \ f(x)>0$ – неравенство удовлетворено. $x \in ( \frac{ 3 - \sqrt{5} }{2} ; \frac{ 3 + \sqrt{5} }{2} ) \ ; \ \Rightarrow \ f(x) < 0$ – неравенство НЕ удовлетворено.О т в е т : $x \in ( -\infty ; -1 ) \cup ( -1 ; \frac{ 3 - \sqrt{5} }{2} ) \cup ( \frac{ 3 + \sqrt{5} }{2} ; +\infty) \ .$
- Автор:
  gavin57
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ