Вычислите интеграл:
[tex]\int\limits^\frac{\pi}{2}_0 {\frac{cosx dx}{2sinx+1}}[/tex] ,
Задание из учебника 11-го класса уровня С, т.е. сложного. Логарифмы и метод интегрирования по частям ещё не проходил. Чтобы подтвердить это добавил вложение снимок содержания учебника. Обратите внимание на страницу 26, она из главы Первообразная и Интеграл, до Логарифма ещё далеко.

Другой пример из этого же задания решил так:
[tex]\int\limits^\frac{\pi}{2}_0 {\frac{cosx dx}{1-\sqrt{2} cos\frac{x}{2}}}
\\cos2x=2cos^2x-1=(\sqrt2cosx-1)(\sqrt2cosx+1)\\x=\frac{x}{2}\\cosx=(\sqrt2cos\frac{x}{2}-1)(\sqrt2cos\frac{x}{2}+1)\\\frac{cosx}{1-\sqrt2cos\frac{x}{2}}=-(\sqrt2cos\frac{x}{2}+1)\\
\int\limits^\frac{\pi}{2}_0 {\frac{cosx dx}{1-\sqrt{2} cos\frac{x}{2}}}=\int\limits^\frac{\pi}{2}_0 {-(\sqrt2cos\frac{x}{2}+1)dx}[/tex]
Далее всё просто, применяем формулу Ньютона-Лейбница.
Вот поэтому, после решения этого примера, меня не покидает вера, что можно таким же образом как-то преобразовать без логарифма.

Пожалуйста, не удаляйте это задание!