Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Докажите неравенство ( a+b )(1/a  +1/b ) ≥ 4, если ab> 0

Ответы 1

  • Скорее всего в условии опечатка, условие a > 0, b > 0.

    Для a > 0, b > 0 используем неравенство Коши

    a+b\geq 2\sqrt{ab}\\ \\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geq 2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}

    Умножив эти два неравенства , мы получим

    (a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}ight)\geq 2\sqrt{ab}\cdot 2\cdot \sqrt{\dfrac{1}{ab}}=4

    Если же в условии ab > 0, то доказательство такое

    (a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}ight)=(a+b)\cdot \dfrac{a+b}{ab}\geq 4\\ \\a^2+b^2+2ab\geq 4ab\\ \\ a^2+b^2\geq 2ab\\ \\ (a-b)^2\geq 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years