Доказать  методом математической индукции:

[tex]1^3+2^3...n^3=(1+2...+n)^2[/tex]

1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2n=1: 1=(1)^2=1 - верно для n=1n=k: 1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k)^2Рассмотрим сумму 1+2+3...+k - сумма арифметической прогрессии1+2+3+...+k=(1+k)k/21^3+2^3+...+k^3=(k+1)^2*k^2/4n=k+1: 1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=(k+2)^2*(k+1)^2/4Вернемся к n=k и прибавим к нему соответствующее значение (k+1), то есть (k+1)^3:1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=(k+1)^2*k^2/4 + (k+1)^3 = (k+1)^2 (k^2/4 + k+1) = (k+1)^2*(k^2+4k+4)/4=(k+1)^2*(k+2)^2/4Теперь сравните этот результат с результатом n=k+1Итак, методом математической индукции мы доказали, что исходное выражение верно для любого значения n