помогите пожалуйста!!Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Ответы 2

Решение в приложении.
- Автор:
  simeon77
- 6 лет назад
- 0
Радиус сходимости найдём по формуле Коши(рис 1): $R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{4^n*n^2}}=\frac{1}{4}\=\frac{1}{R}=4$ Интервал сходимости:|x-2|<4x-2<4 ; x-2>-4x<6 ; x>-2x∈(-2;6)Но мы не знаем сходиться ли ряд на концах отрезка.Остаётся это проверить. $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-2-2)^n}{4^n*n^2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n*4^n}{4^n*n^2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$ Используем признак Лейбница для знакочередующих рядов(рис 3).Функция $\frac{1}{n^2}$ монотонна и: $lim_{n\to\infty}|\frac{(-1)^n}{n^2}|=lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0$ Следовательно ряд сходится. $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(6-2)^n}{4^n*n^2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{4^n}{4^n*n^2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ Это обобщённый гармонический ряд(рис 2). α>1 - ряд сходиться.Интервал сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{4^n*n^2}$ : $x\in [-2;6]$
- Автор:
  rebeccagibson
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ